Mesure
de l'épaisseur d'un film alimentaire. Bac métropole 2025.
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L’objectif de cet exercice est d’étudier différentes méthodes de détermination de l’épaisseur d’un film alimentaire.
1. Mesure de l’épaisseur d’un film alimentaire par capacimétrie
Données :
- un condensateur plan est constitué de deux armatures métalliques,
parallèles entre elles, chacune de surface S, séparées par un matériau
isolant (papier, plastique) d’épaisseur e ;
-expression littérale de la capacité C d’un tel condensateur :
C =e0·er·S / e.
avec : e0 = 8,85×10–12 F·m–1 : permittivité du vide ;
er : permittivité relative du matériau isolant ;
permittivité relative du film alimentaire étudié : er, film = 2,3 ;
permittivité relative de l’air : er, air = 1,0 ;
épaisseur de référence du film alimentaire : efilm, ref = 7,6 μm ;
pour discuter de l’accord du résultat d’une mesure avec une valeur de référence, on peut utiliser le
quotient |x – xref| / u(x) avec x la valeur mesurée, xref la valeur de référence et u(x) l’incertitude-type associée
à la valeur mesurée x.
On réalise un condensateur plan en intercalant entre deux feuilles de papier aluminium rectangulaires, de
dimensions 21 cm × 28 cm, une seule couche du film transparent d’épaisseur e. On note C sa capacité.
On réalise ensuite le montage, schématisé ci-dessous, constitué du condensateur réalisé, d’un conducteur
ohmique de résistance R = 1,00 kW, d’un interrupteur et d’un générateur idéal délivrant une tension
continue E = 4,9 V.
On étudie la charge du condensateur à partir de la date t = 0, date à laquelle l’interrupteur est fermé.
L’évolution temporelle de la tension uC aux bornes du condensateur est représentée ci-dessous.
Q1. Établir l’équation différentielle ci-dessous vérifiée par la tension uC aux bornes du condensateur, où t est le temps caractéristique dont on donnera l’expression :
Additivité des tensions : E = uC+Ri ;
i = dq/dt avec q = CuC ; i =CduC/dt.
E = uC+RCduC/dt.
On pose t = RC.
duC/dt +uC / t = E / t.
La solution de cette équation différentielle est : uc(t) = A⋅ (1-exp(-t / t) où A est une constante.
Q2. Déterminer l’expression de la constante A.
Au bout d'un temps suffisamment long uC = E= A.
Q3. Exprimer, en fonction de E, la tension uc(t) aux bornes du condensateur à la date t = t.
uC=E(1-e-1)~0,63 E.
Q4. Exploiter la
courbe et le résultat obtenu à la question Q3 pour déterminer la valeur
de la constante de temps t du circuit. Expliciter la démarche utilisée.
Q5. En déduire une valeur expérimentale de la capacité C du condensateur.
C = t / R =66 10-6 /103 =6,6 10-8 F = 66 nF.
Des mesures complémentaires répétées ont permis de déterminer une valeur moyenne de la capacité du
condensateur : C = 69,8 nF.
Q6. Déterminer la valeur de l’épaisseur e du film alimentaire déduite de cette valeur moyenne.
C =e0·er·S / e ; e = e0·er·S / C = 8,85 10-12 x2,3 x(0,21 x0,28) / (69,8 10-9)=1,7 10-5 m =17 µm.
Avec cette méthode, l’incertitude-type sur l’épaisseur du film a pour valeur : u(e) = 1,0 μm.
Q7. Discuter de l’accord du résultat obtenu à la question Q6 avec la valeur de l’épaisseur de référence du film
indiquée dans les données.
(17-7,6) / 1,0 = 9,4 > 2, donc désaccord.
Pour expliquer l’écart observé, on peut faire l’hypothèse qu’il existe entre les feuilles d’aluminium, en plus de
l’épaisseur du film alimentaire, une fine couche d’air d’épaisseur eair constante. La situation est alors
schématisée sur la figure ci-dessous.
On montre que la capacité C' d’un condensateur, dans le cas où le condensateur comprend une épaisseur
d’air eair et une épaisseur de film efilm, est donnée par la relation :
C' =e0·S /(eair/ er air +efilm/ er film )
Q8. En envisageant deux cas limites au schéma présenté en figure, vérifier que l’expression donnée ci-dessus
est compatible avec l’expression littérale de la capacité d’un condensateur précisée dans les données.
Cas n°1 : l'épaisseur de la couche d'air est nulle.
C' =e0·S /(0 +efilm/ er film )=e0·er film S /efilm.
Cas n°2 : l'épaisseur du film est nulle.
C' =e0·S /(eair/ er air +0 )=e0·er airS /eair.
On retrouve l'expression de la capacité du condensateur.
Q9. Dans ce modèle, déterminer la valeur d’épaisseur d’air eair en considérant que l’épaisseur du film alimentaire est celle de référence : efilm,ref = 7,6 μm. Commenter.
C' =e0·S /(eair/ er air +efilm/ er film ).
69,8 10-9 =8,85 10-12 x(0,21 x0,28) / (eair+7,6 10-6 / 2,3)=5,2 10-13 /(eair+3,3 10-6 ).
eair+3,3 10-6 =5,2 10-13 / (69,8 10-9 )=7,45 10-6 ; eair=4,1 10-6 m.
L'épaisseur du film d'air n'est pas négligeable.
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2. Mesure de l’épaisseur du film alimentaire par pesée
Données :
- dimensions du film alimentaire indiquées sur l’emballage : largeur ℓ = 29 cm et longueur L = 30 m ;
- masse volumique du polymère constituant le film alimentaire : r film = 1,25×103 kg.m–3.
Afin d’estimer un ordre de grandeur de l’épaisseur du film alimentaire, on mesure la masse de film d’un rouleau
neuf : mfilm = 70,56 g.
Q10. Calculer l’épaisseur efilm du film alimentaire dans le rouleau.
Volume du film : 0,29 x30 efilm =8,7efilm.
Masse du rouleau : r film x 8,7efilm =70,56 10-3.
1,25 103 x8,7efilm =70,56 10-3.
efilm =6,5 10-6 m.
3. Mesure de l’épaisseur du film alimentaire par interférométrie.
Dans le but d’obtenir une mesure plus exacte de l’épaisseur du film
alimentaire, on utilise une méthode interférométrique dans laquelle on
éclaire le film avec une source lumineuse comme indiqué sur la
figure ci-dessous.
On ne s’intéresse dans cette étude qu’à deux rayons lumineux et issus d’un même rayon incident.
• rayon 1 : rayon issu du rayon incident qui est réfléchi sur la surface supérieure du film alimentaire ;
• rayon 2 : rayon issu du rayon incident qui est transmis dans le film
puis réfléchi par la surface inférieure du film et qui ressort par la
surface supérieure du film.
Les rayons 1 et 2 sont parallèles entre eux. Grâce à une lentille, ils
se superposent à l’entrée d’une fibre optique, elle-même reliée à un
spectromètre.
Pour une source monochromatique de longueur d’onde l, la superposition des deux ondes associées aux rayons 1 et 2 donne lieu à des interférences. On note d la différence de chemin optique entre les deux ondes.
Q11. Préciser la relation entre d et l permettant d’obtenir des interférences constructives.
d = k l avec k entier relatif.
L’ordre d’interférence p est, dans le cas général, défini comme le rapport p = d / l.
On admet que, dans les
conditions de l’expérience, l’ordre d’interférence p est donné par la relation suivante :
p = β × efilm / l +0,5. Relation 1
où β est un paramètre sans dimension dépendant de l’indice de réfraction du film et de l’angle d’incidence de
la lumière sur le film.
Q12. Préciser, en justifiant sans calcul, le phénomène observé lorsque le rapport β × efilm / l est un nombre entier.
p est un demi-entier. Les interférences sont destructives.
Dans l’expérience étudiée, le film est éclairé en lumière blanche et on
analyse le spectre de la lumière transportée par la fibre. On donne
ci-dessous sur la figure 6a le spectre de la lumière incidente et sur
la figure 6b celui de la lumière captée par la fibre optique.
Q13. Le spectre de la figure 6b présente des maxima d’intensité dont certains sont entourés en pointillés.
Expliquer leur origine.
Les maximas d'intensités entourés correspondent aux longueurs d'onde pour lesquelles les interférences sont constructives.
L’analyse de la figure 6b permet de représenter l’évolution de l’ordre d’interférence en fonction de l’inverse de
la longueur d’onde. Les résultats obtenus et leur modélisation sont représentés sur la figure 7.
Q14. Indiquer, en justifiant, si les résultats expérimentaux sont cohérents avec la relation 1.
p = β × efilm / l +0,5. Relation 1
La courbe expérimentale est une fonction affine, en accord avec la relation 1.
Q15. Déduire de ces mesures la valeur de l’épaisseur efilm du film alimentaire, sachant que, dans les conditions
de l’expérience, β = 3,02. Commenter.
p =3,02 efilm / l +0,5.
3,02 109 efilm = 22443 ;
efilm = 22443 / (3,02 109) =7,46 10-6 m = 7,46 µm.
L'épaisseur du flim mesurée par cette méthode est beaucoup plus proche de la valeur de référence 7,46 µm.
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