Mathématiques, probabilités, Bac Antilles 06/2026

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Exercice 1 (6 points).
On s’intéresse à un réseau de communication constitué d’une chaîne de relais (satellites, antennes, opérateurs . . . ) pour transmettre des messages. À chaque transmission entre deux relais successifs, des erreurs peuvent apparaitre dans le message. Une étude statistique a permis d’établir que pour chaque relai :
- si le message reçu est sans erreur, il a 94% de chances d’être transmis sans erreur au relai suivant;
- si le message reçu comporte des erreurs, il y a 35% de chances que les erreurs soient corrigées et donc que le message soit transmis sans erreur au relai suivant.
On choisit au hasard un message envoyé au cours d’une journée.
Partie A
On considère les évènements suivants :
 A1 : « le message reçu par le premier relai est sans erreur »;
 A2 : « le message reçu par le deuxième relai est sans erreur ».
On admet que P (A1) = 0,96.
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant.
 2. Montrer que P (A2) = 0,916 4.

3. Calculer PA2 ( non A1 ) . On arrondira le résultat à 10−4 . Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
PA2 ( non A1 )= P (non A1 n A2) / P(A2) =0,04 *0,35 / 0,9464 = 0,0153.
La probabilité que le message reçu par le premier relai soit avec erreur sachant que le message reçu par le second relais était sans  erreur est 0,0153
Partie B.
Pour vérifier le bon fonctionnement d’un relai, des tests indépendants les uns des autres sont effectués. Un test est positif si la présence d’au moins une erreur est détectée. On admet que la probabilité qu’un test soit positif est égale à 0,04. On choisit au hasard un échantillon de 50 tests réalisés sur le relai. Le nombre de tests réalisés est suffisamment grand pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.
1. On note X la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 50 tests associe le nombre de tests positifs. Ainsi la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,04.
a. Déterminer la probabilité que 4 tests soient positifs dans cet échantillon. On arrondira le résultat à 10−2 .
P(X=4)=(504) x0,044 x(1-0,04) 50-4 ~0,09 .
 b. Donner la probabilité qu’au moins un test soit positif dans cet échantillon. On arrondira le résultat à 10−2 .
P(X > 1)=0,87 d'après la calculatrice.
c. Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire X.
E(X) = n p = 50 x0,04 = 2.
V(X) = n p (1-p) = 50 *0,04 *0,96 = 1,92.
2. On étudie une chaîne de transmission de l’information composée de 25 relais. On considère la variable aléatoire X1 qui à chaque échantillon de 50 tests pratiqués sur le relai 1 associe le nombre de tests positifs. On définit de la même manière les variables aléatoires X2 pour le relai 2, . . . , X25 pour le relai 25. On admet que ces 25 variables aléatoires sont indépendantes entre elles et qu’elles admettent la même espérance égale à 2 et la même variance égale à 1,92.
On note M la variable aléatoire donnant la moyenne du nombre de tests positifs lors des contrôles effectués sur les 25 relais. On a donc M =( X1 + X2 +··· + X25 ) / 25 .
a. Vérifier que E(M) = 2 et montrer que V(M) = 0,076 8.
La variable aléatoire M est la variable aléatoire moyenne de 25 variables aléatires indépendantes de même loi que X.
Donc E(M)= E(X)=2.
V(M) = V(X) / 25 = 0,0768
 b. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que la moyenne des tests positifs soit strictement inférieure à 7 est supérieure à 0,99. Indication : on pourra utiliser, sans justification, le fait que : P(M < 7) = P(−3 < M < 7).
P(M < 7) = P(-3 < M < 7)=P(-5 < M-2 <5)=1-P(|M-2| > 5).
P(|M-E(M)| > t) < V(M) / t2.
P(|M-2| > 5) < 0,0768 / 52.
P(|M-2| > 5) < 0,00307.
1-P(|M-2| > 5) > 1-0,00307
M (M < 7) > 0,99.

Partie C
 On désigne par n un entier naturel non nul. On s’intéresse à une chaîne de transmission de l’information composée de n relais. On considère l’évènement An : « le message reçu par le n-ième relai est sans erreur ». On note pn la probabilité que le message reçu au n-ième relai soit sans erreur. On a ainsi pn = P (An) et p1 = 0,96. On admet que pour tout entier naturel n > 1, pn+1 = 0,59pn +0,35.
 1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n > 1, pn+1 < pn.
Initialisation : p2 = 0,59 p1 +0,35 = 0,59 *0,96 +0,35 = 0,9164.
Donc p2 < p1. Affirmation vraie au rang 1.
Hérédité : pn+1 < pn est supposé vraie.
0,59 pn+1 < 0,59 pn ;
0,59 pn+1 +0,35 < 0,59 pn +0,35 ;
pn+2 < pn+1.
Conclusion : l'affirmation est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n non nul.

2. Montrer que la suite (pn) est convergente.
pn+1 < pn : la suite est décroissante.
La suite (pn) est minorée par zéro.
Donc elle converge.
3. Déterminer la valeur exacte de sa limite.
La limite l est solution de l'équation f(x) = x.
0,59 l +0,35 = l ;
l = 0,35 / 0,41.

Exercice 1. 4 points.
Partie A L’agence de sûreté nucléaire ASNR contrôle les installations des centrales nucléaires afin de garantir leur sécurité et leur conformité. La fréquence des contrôles dépend de l’état du réacteur. On considère que dans le parc nucléaire français :
 20 % des réacteurs sont en arrêt pour maintenance;
 5 % des réacteurs fonctionnent au ralenti;
 le reste des réacteurs du parc nucléaire est en état de fonctionnement normal.
 On considère également que parmi les réacteurs en arrêt, 85 % sont contrôlés et que parmi les réacteurs fonctionnant au ralenti, 60 % sont contrôlés. On choisit au hasard un réacteur dans le parc nucléaire français, et on note :
 A l’évènement « Le réacteur est en arrêt »;
R l’évènement « Le réacteur fonctionne au ralenti »; •
 N l’évènement « Le réacteur fonctionne normalement »;
C l’évènement « Le réacteur subit un contrôle ».
 On note x la probabilité que le réacteur subisse un contrôle sachant qu’il fonctionne normalement, c’est à dire x = PN(C).
 1. Recopier l’arbre des probabilités ci-dessous en complétant les pointillés à l’aide des données de l’énoncé.

 2. Calculer la probabilité que le réacteur soit en arrêt et qu’il subisse un contrôle.
P(A n C) = P(A) * P(C) = 0,2 * 0,85 = 0,17.
On sait de plus que la probabilité qu’un réacteur du parc nucléaire soit contrôlé est égale à 0,35.
3. Montrer que la probabilité x est égale à 0,2.
Loi des probabilités totales : P(C) = 0,17 +0,03 +0,75x = 0,35.
0,75x = 0,35-0,20 = 0,15
x = 0,15 / 0,75=0,2.
 4. Le réacteur choisi subit un contrôle. Déterminer la probabilité qu’il fonctionne normalement.
PC(N) = P(C n N) / P(C) =0,75 *0,2 / 0,35 = 0,429 ~0,43.
Partie B Dans le Sud de la France, on compte 12 réacteurs nucléaires qu’on numérote de 1 à 12. On sait que lorsque le réacteur fonctionne normalement, sa production journalière est égale à 16 GWh (gigawattheure), lorsque le réacteur fonctionne au ralenti, sa production journalière est réduite à 10 GWh et enfin lorsque le réacteur est à l’arrêt, sa production journalière est nulle. On rappelle que P(N) = 0,75, P(R) = 0,05 et P(A) = 0,20.
1. On désigne par X la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh d’un réacteur.
a. Recopier le tableau ci-dessous et compléter les pointillés donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire X. On notera k les valeurs prises par la variable aléatoire X et pk les probabilités égales à P(X = k).
k
 0
 10
 16
pk
 0,20
 0,05
 0,75

 b. Montrer que l’espérance E(X) de la variable aléatoire X est égale à 12,5 et que sa variance V(X) est égale à 40,75.
E(X) = 0 *0,2 +10*0,05+16*0,75 = 12,5..
V(X) =  02*0,2 + 102 *0,05 +162*0,75 =40,75.
2. Pour tout entier naturel i compris entre 1 et 12, on note Xi la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh du i-ème réacteur.
Ainsi, par exemple, X2 désigne la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh du 2-ième réacteur.
On suppose que les variables 𝑋1 ,𝑋2 ,…,𝑋12 suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire X, et qu’elles sont indépendantes. On considère la variable aléatoire S qui donne la production totale journalière des 12 réacteurs. On a ainsi S = X1 + X2 +⋯ + X12. On note E(S) l’espérance de la variable aléatoire S et V(S) sa variance.
 a. Montrer que E(S) = 150 et V(S) = 489.
Les variables aléatoires Xi suivent la même loi de probabilité et sont indépendantes.
E(S) = 12 E(X) = 12 *12,5 = 150.
V(X) =
 b. Afin d’éviter le risque de surcharge du réseau et de couvrir l’ensemble des besoins en électricité, la production totale journalière des 12 réacteurs doit être comprise strictement entre 100 GWh et 200 GWh.
Peut-on affirmer que la probabilité d’éviter le risque de surcharge et de couvrir l’ensemble des besoins en électricité est supérieure à 0,80? Justifier.
P(100 < S < 200)=P(-50< S-150 <50 = 1-P(|S-150| > 50).
Or P(|S-E(S)| > t) < V(S) / t2.
P(|S-150| > 50) < 489 /502.
P(|S-150| > 50) < 0,1956.
1-P(|S-150| > 50) >1- 0,1956.
P(100 < S < 200) > 0,8044.



  
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