Mathématiques, suites, QCM, Bac Antilles 06/2026
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Exercice
2 (6 points).
Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.
La notice du médicament indique que :
- le traitement doit durer au moins 7 h;
- lorsque sa quantité, en mg, présente dans le sang est supérieure ou
égale à 3 mg, il y a un risque de
toxicité.
On s’intéresse à la quantité de médicament présente dans le sang au
cours du temps sachant que le
patient reçoit une première dose de 1 mg.
Deux protocoles sont étudiés dans les deux parties qui sont
indépendantes.
Partie A : étude du premier protocole
Après l’injection de la première dose, une quantité supplémentaire de
médicament est administrée
régulièrement et de façon continue à un patient mis sous perfusion.
Dans cette partie, on modélise la quantité de médicament présente dans
le sang du patient par une
fonction q définie sur [0 ; +∞[, où q(t) désigne la quantité, en mg, de
médicament présente dans le
sang du patient, et t représente le temps, en heure, écoulé depuis
l’injection initiale. On a ainsi q(0) = 1.
On admet que :
- la fonction q est dérivable sur [0 ; +∞[ et on note q
′
sa fonction dérivée;
- la fonction q est solution sur [0 ; +∞[ de l’équation différentielle
(E) : y
′ = − 0,3 y + 1
où y est une fonction de la variable réelle f, définie et dérivable sur
l’intervalle [0 ; +∞[, et y
′
sa
fonction dérivée.
1. Donner les solutions sur [0 ; +∞[ de l’équation différentielle (E).
Solution générale de y'+0,3y =0 : q(t) = A exp(-0,3t) avec A une
constante réelle.
Solution particulière de (E) : q(t) = 1/0,3 = 10 /3.
Solution générale de (E) : q(t) = A exp(-0,3t) + 10 /3.
2. Montrer que pour tout réel t appartenant à [0 ; +∞[, q(t) = 10
/ 3
−
7/
3
exp(-0,3t).
q'(t) = -7/3 *(-0,3) exp(-0,3t) = 0,7 exp(-0,3t).
Repport dans (E) : 0,7 exp(-0,3t) = 10/3 *(-0,3)-7/3 (-0,3)exp(-0,3t)
+1 = -1+0,7 exp(-0,3t) +1 = 0,7 exp(-0,3t).
Cette égalité est vérifiée quelque soit t.
.
3. Déterminer la limite de la fonction q en +∞. Interpréter cette
valeur dans le contexte de l’exercice.
Le terme en exponentielle tend vers zéro quand t tend vers + oo ; q(t)
tend vers 10 /3.
A long terme la quantité de médicament dans le sang tend vers10 /3 ~3,3
mg.
4. Étudier les variations de la fonction q sur [0 ; +∞[.
q'(t) = 0,7 exp(-0,3t) > 0.
q(t) est strictement croissante.
5.
Déterminer, en résolvant une inéquation, au bout de combien de temps
après l’injection initiale
le médicament présente un risque pour le patient. On donnera la valeur
exacte puis une valeur
approchée à 10−1
.
10
/ 3
−
7/
3
exp(-0,3t) > 3.
10 /3 -3 > 7/3
exp(-0,3t).
1 / 3 > 7/3 exp(-0,3t).
1 >
7 exp(-0,3t).
1 / 7 >
exp(-0,3t).
ln (1/7) > -0,3 t
; ln (7) < 0,3 t ;
t >ln(7) / 0,3
~6,5 heures.
6. D’après ce modèle, le protocole
présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.
Le traitement devant durer au moins 7 heures, le protocole présente un
risque pour le patient.
Partie B : étude du second
protocole
On injecte au patient une première dose de médicament de 1 mg. On admet
que la quantité de médicament présente dans le sang du patient baisse
de 30 % toutes les heures. Pour compenser cette baisse,
on injecte une dose supplémentaire de 0,75 mg de médicament toutes les
heures.
On modélise la situation par une suite (un), où, pour tout
entier naturel n, un représente la quantité, en
mg, de médicament présente dans le sang du patient au bout de n heures
écoulées depuis l’injection
initiale.
Sous ces conditions, on a u0 = 1.
1. Justifier que
pour tout entier naturel n, un+1 = 0,7 × un +
0,75.
Une baisse de 30 % au bout d'une heure correspond à une
multiplication par 0,7 de la quantité initiale.
Puis on injecte 0,75 mg de médicament toutes les heures.
un+1 = 0,7 × un +
0,75.
2. a. Montrer par récurrence que
pour tout entier naturel n, un ⩽ un+1 ⩽ 4.
Initialisation
: u1 = 0,7 *1 +0,75 =1,45.
u0 ⩽ u1 ⩽ 4. La
relation est vraie au rang zéro.
Hérédité : un ⩽ un+1 ⩽ 4 est
supposé vrai.
0,7 un ⩽ 0,7 un+1 ⩽
0,7*4
0,7 un +0,75⩽ 0,7 un+1+0;75
⩽ 2,8 +0,75.
un+1 < un+2
< 3,55 < 4.
La relation est vraie au rang n+2.
Conclusion
: la relation est vraie au rang 1 et héréditaire : elle est vraie pour
tout entier naturel n.
b. En déduire que la suite (un)
est convergente.
La suite est croissante et malorée par 4, donc elle converge.
c. Déterminer la limite l de la suite (un).
l est
solution de l
= 0,7 l+0,75.
0,3 l = 0,75 ; l = 0,75 / 0,3 =7,5 / 3 =
2,5.
d. D’après ce
modèle, le traitement présente-t-il un risque pour le patient ?
Justifier.
l =
2,5 < 3, le traitement ne présente pas de risque.
3. On considère la
suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn
= un− 2,5.
a. Montrer que (vn)
est une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme
initial.
vn+1 = 0,7 × un + 0,75-2,5 =0,7 × un -1,75 = 0,7(un -2,5) =0,7 vn.
(vn) est
une suite géométrique de raison 0;7 et de premier terme v0 =
u0-2,5 =1-2,5 = -1,5.
vn= -1,5 * 0,7n.
b. Montrer que pour tout entier
naturel n, un = 2,5 − 1,5 × 0,7n
.
un = vn +2,5 = 2,5 − 1,5 × 0,7n
4. D’après ce modèle, au bout de
combien d’injections supplémentaires la quantité de médicament
présente dans le sang de ce patient dépasse-t-elle 2,4 mg.
2,5 − 1,5 × 0,7n > 2,4.
0,1 > 1,5 x 0,7n.
0,1 / 1,5 > 0,7n.
ln(0,1 / 1,5 ) > n ln(0,7).
n > ln(0,1 / 1,5) / ln(0,7) ; n > 7,6 heures soit après 8
injetions supplémentaires.
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QCM.
1. Le plan est muni d’un repère orthonormé.
a. On considère l’équation différentielle (E1) : y' +2y = 0, où y est une fonction de la variable x définie sur R.
On note f la solution de l’équation différentielle (E1) telle que f (0) = 1.
Affirmation 1 : La courbe représentative de la fonction f passe par le point A de coordonnées (
ln (2) ; 0,5).
Solution de (E1) : f(x) = A exp(-2x) avec A une constante réelle.
f(0) = A = 1 ; f(x) = exp(-2x).
exp(-2 ln(2)) =exp(-ln(22)) =exp(ln(1/4))=1/4 différent de 0,5. Affirmation fausse.
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b. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [ 0,5p ; p]
par :
f (x) = x −cos(x)
Affirmation 2 : Sur cet intervalle, la courbe représentative de la fonction f est au-dessus de
ses tangentes.
f '(x) = 1+sin(x) ; f "(x) = cos(x) < 0 sur cet intervalle
La fonction est concave. La courbe repprésenntative est située en dessous de ses tangentes. Affirmation fausse.
c. On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :
f (x) = 1+
sin(x)/
x.
Affirmation 3 : La droite d’équation y = 1 est une asymptote horizontale de la courbe représentative de la fonction f .
-1 < sin(x) < 1.
-1/ x < sin(x) / x < 1/ x car x est positif.
1-1/ x < 1+sin(x) / x < 1+1/ x.
1-1/ x < f(x) < 1+1/ x.
Quand x tend vers +oo, 1/x tend vers zéro : 1-1/x et 1+1/x tendent vers zéro.
D'après le théorème des gendarmes f(x) tend vers 1 si x tend vers +oo. Affirmation vraie.
2. On considère l’équation différentielle (E2) : y' −3y = 2−6x, où y est une fonction de la variable
x définie sur R.
Affirmation 4 : La fonction f définie sur R par
f (x) = 2x − e
3x
est une solution de l’équation (E2).
f '(x) = 2-3e3x.
Repport dans (E2) : 2-3e3x-6x-3e3x =2-6x.
Donc f est solution de (E2). Affirmation vraie.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou
fausse. Justifier la réponse donnée. Une réponse non justifiée ne
rapporte aucun point.
L’espace est muni d’un repère orthonormé.
On considère :
- les points S(−1 ; 2½ ; −4), A(2 ; 2½ ; −1), B(1 ; 2½ ; 0) et C(2 ; 0 ; −1);
- la droite d dont une représentation paramétrique est donnée par : x = 2 − 𝑘
; y = 2½k ; z = −1 − k avec k réel.
- le plan P dont une équation cartésienne est : x − z + 1 = 0.
On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Affirmation 1 : Le vecteur SA est un vecteur normal au plan (ABC).
Vrai.
Le vecteur SA est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il est donc normal au plan (ABC).
Affirmation 2 : Les droites (SB) et d sont sécantes. Faux.
Les coordonnées de ces deux vecteurs n'étant pas proportionnelles, ils ne sont pas colinéaires.
Les droites (SB) et d ne sont pas parallèles ; elles peuvent être sécantes ou non coplanaires.
Hypothèse : les deux droites ont un point commun.
Représentation paramétrique de la droite (SB) :
x=xS + 2t = -1+2t .
y = yS+0t = 2½.
z = zS +4t = -4+4t avec t réel.
Représentation paramétrique de la droite d :
x = 2 − 𝑘
; y = 2½k ; z = −1 − k avec k réel.
-1+2t = 2-k ; k = 3-2t ;
2½ = 2½k = 2½(3-2t ) ; 1 = 3-2t ; t=1. Par suite k = 1.
z = -4+4t = -1-k.
-4+4t=-4+4=0 ; -1-k = -1-1=-2.
-4+4t diffère de -1-k : l'hypothèse est fausse.
Les droites (SB) et d ne sont pas sécantes.
Affirmation 3 : La droite d est parallèle au plan P.
Vrai.
d est dirigée par le vecteur de coordonnées (-1 ; 2½ ; -1).
Coordonnées d'un vecteur normal au plan P : (1 ; 0 ; -1).
Produit scalaire de ces deux vecteurs : -1*1+2½*0+(-1)*(-1) = 0.
Ces deux vecteurs étant orthogonaux, la droite d est parallèle au plan P.
Affirmation 4 : Le projeté orthogonal de S sur le plan P est le point H de coordonnées (−3 ; 2½ ; −2).
Vrai.
xH -zH +1 = -3-(-2)+1 = 0. H appartient au plan P.
H est donc le projeté orthogonal de S sur le plan P.
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