Mathématiques, fonctions, Bac Antilles 06/2026
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Exercice 4 (6 points).
Partie A : lecture graphique.
On considère une fonction f définie et deux fois dérivable sur l’intervalle ] 0,5
; +∞[. On note f
′
sa
fonction dérivée et f "
sa fonction dérivée seconde.
On a tracé, dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction f, notée C, ainsi que la tangente T à C
au point A(1; 0). On précise que T passe par le point B(0 ; −2).
On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l’aide du graphique.
1. Déterminer f '
(1).
Coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point A : f '(1) = 2/1 = 2.
2. La fonction f est-elle concave sur ] 0,5
; +∞[?
La courbe C est située au dessus de ses tangentes : la fonction f est donc convexe.
3. Déterminer f "
(1).
La courbe C traverse la tangente en A. A est un point d'inflexion, donc f "(1) = 0.
Partie B : étude de fonction.
On admet que la fonction représentée graphiquement dans la partie A est définie sur l’intervalle
] 0,5
; +∞[ par :f(x)= x ln(2x − 1)
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
1. Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction f en 0,5
. En déduire une interprétation graphique.
2x-1 tend vers zéro ; ln(2x-1) tend vers -oo.
x tend vers 0,5 ; par produit des limites, f(x) tend vers -oo.
La droite d'équation x = 0,5 est asymptote verticale à la courbe C.
2. Résoudre l’équation f(x) = 0 sur l’intervalle ] 0,5
; +∞[.
x =0 n'appartient pas à cet intervalle.
ln(2x-1) = 0= ln(1).
2x-1 =1 ; 2x = 2 ; x =1.
3. On admet que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ] 0,5
; +∞[ : f '(x) = ln(2𝑥 − 1) + 2x
/(2x − 1)
.
a. Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ] 0,5
; +∞[ : f "(x) = 4(x − 1)
/(2x − 1)2
.
Dérivée de ln(2x-1) : 2 / (2x-1).
Calcul de la dérivée de 2x /(2x-1) en posant u = 2x ; v = 2x-1 ; u' = 2 ; v' = 2.
(u'v-v'u) / v2 = (4x-2-4x) / (2x-1)2 = -2 / (2x-1)2 .
f "(x) = 2 / (2x-1) -2 / (2x-1)2 = (2(2x-1)-2) / (2x-1)2 =4(x − 1)
/(2x − 1)2
.
b. Montrer que C admet un unique point d’inflexion et que ce point est l’intersection de C avec
l’axe des abscisses.
Un carré étant positif, f "(x) possède le signe de x-1 ; f "(x) s'annule et change de signe pour x = 1.
Le point d'abscisse 1 est l'unique point d'inflexion.
f(1) = 1 * ln(2-1) = 0.
Coordonnées du point d'inflexion : ( 1 ;0), intersection de C avec l'axe des abscisses.
4. a. Montrer que la fonction f est positive sur l’intervalle [1 ; 2].
x est positif ;
1 < x < 2 ; 2 < 2x < 4 ; 2-1 < 2x-1 < 4 -1 ; 1 < 2x-1 < 3 ;
ln(1) < ln(2x-1) < ln(3) car la fonction ln est strictement croissante sur [1 ; 3].
La fonction f est positive sur [1 ; 2]. ;
b. On admet que pour tout x appartenant à l’intervalle ] 0,5
; +∞[, on a :
x2/(2x-1)=0,5 x+0,25 +1/(4(2x-1)).
Montrer que : 
c. On note A l’aire du domaine délimité par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = 2.
En vous aidant d’une intégration par parties, déterminer la valeur exacte de l’aire A en unité
d’aire.
On pose u' = x et v = ln(2x-1) ; u =0,5 x2 ; v' = 2 / (2x-1).
Partie C : généralisation
On désigne par a un réel strictement positif et par fa
la fonction définie sur l’intervalle ]
1/a
; +∞[ par :
fa(x)= x ln(ax − 1).
On admet que fa est deux fois dérivable sur l’intervalle ]
1/a
; +∞[. On note f 'a
sa fonction dérivée,f "a
sa fonction dérivée seconde, et Ca
sa représentation graphique.
On admet que pour tout x appartenant à l’intervalle ]
1/a
; +∞[ :
f "a(x)= a(ax − 2)/
(ax− 1)2
.
1. Montrer que pour tout réel a strictement positif, la courbe Ca admet un unique point d’inflexion Aa
.
f " a s'annule pour x = 2 / a.
f "a possède le signe de ax-2 :
f "a > 0 pour x > 2/a ; f "a < 0 pour x > 2/a.
La dérivée seconde s'annule et change de signe pour x = 2 /a.
fa(2/a)= 2/a ln(2 − 1)=0.
Pour tout réel a >0, la courbe C admet un point d'inflexion unique de coordonnées (2 /a ; 0).
2. Montrer que les points Aa
sont alignés, a appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[.
Ces points ayant une ordonnée nulle se trouvent alignés sur l'axe des abscisses.
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On considère la fonction fk définie sur ]0 ;+∞[ par :
fk (x) = 1− x +
k(1+lnx) /
x
où k est un réel strictement positif et ln désigne la fonction logarithme népérien.
On désigne par Ck la représentation graphique de la fonction fk dans un repère orthonormé.
On admet que la fonction fk est deux fois dérivable sur ]0 ;+∞[.
On note f '
k
sa dérivée première et f "
k
sa dérivée seconde.
Partie A : étude d’un premier cas particulier
Dans cette partie, on se place dans le cas k = 2.
La courbe C2 est représentée sur le graphique ci-dessous.
On précise que :
Le point A est un point d’inflexion de la courbe C2 ;
T2 est la tangente à la courbe C2 au point A.
1. On considère une primitive F2 de la fonction f2 sur ]0 ;+∞[.
Avec la précision permise par le graphique, donner les variations de la fonction F2 sur l’intervalle
]0 ; 3].
f2 est la dérivée de la fonction F2.
Les variations de F2 sont données par le signe de f2.
F2 est décroissante sur ]0 ; 0,3] et sur [2,5 ; 3].
F2 est croissante sur [0,3 ; 2,5].
2. Parmi les trois courbes ci-dessous, indiquer celle qui représente f '
2
et celle qui représente f "
2
.
Justifier.
La courbe 1 représente la fonction f '2. f '2 s'annule lorsque f2 admet un maximum ; le maximum correspond à x ~0,75.
La courbe 2 correspond à f "2. Le point d'abscisse x~1,6 est un point d'inflexion pour la courbe de la fonction f2. La dérivée seconde s'annule en ce point.
Partie B : étude d’un second cas particulier
Dans cette partie on se place dans le cas k = 1.
On considère la fonction f1 définie sur ]0 ;+∞[ par :
f1(x) = 1− x +(
1+ln x
) / x
.
1. a. Montrer que pour tout réel x > 0 :
f '
1
(x) = −1−
ln x
/x
2
.
Dérivée de 1-x : -1.
Calcul de la dérivée de (1+ln x) / x en posant u = 1+ln x et v = x ; u' = 1/x ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 =(1-1-ln x) / x2 =-ln x / x2.
f '1(x) = -1-ln x / x2.
b. Déterminer la limite de f '
1
(x) lorsque x tend vers +∞.
Par croissance comparée ln x / x2 tend vers zéro.
Par somme, f '
1
(x) tend vers -1.
2. On admet que :
l’axe des ordonnées est une asymptote de la courbe de f '
1
;
pour tout réel x > 0, f "
1
(x) =(
2ln x −1
)/x
3
.
On donne ci-dessous le tableau de variations de f '
1
sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
a. Justifier les variations de la fonction f '
1
sur l’intervalle ]0 ;+∞[ et la valeur de l’extremum.
x3 >0 ; f "1(x) possède le signe de 2 ln(x)-1.
2 ln(x)-1 >0 ; 2ln(x) > 1 ; ln(x) > 0,5 ; x > e0,5 la fonction exponentielle étant strictement croissante.
f '1(e0,5) = -1-ln(e0,5) / (e0,5)2 =-1-0,5 / e = -1 - 1/(2e)
b. Justifier la limite de la fonction f '
1
en 0+.
f '1(x) = -1-ln x / x2.
limite de - ln(x) : +oo.
limite de x2 : 0.
Par quotient et somme, la limite de f '1(x) en +oo est +oo.
c. Montrer qu’il existe une unique solution a à l’équation f '
1
(x) = 0 sur ]0 ;+∞[.
En déduire que f1 admet un maximum sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
Sur l'intervalle ]0 ; e0,5], la fonction f '1 est continue car dérivable et strictement décroissante.
De plus la limite en 0+ de f '1(x) est +oo et f '1 (e0,5) = -1-1/(2e) <0.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f '1(x)=0 admet une solution unique dans ]0 ; e0,5].
Sur l'intervalle [e0,5 ; +oo[, f '1(x) est strictement croissante et la limite de f ' 1(x) en +oo ets -1. Sur cet intervalle f '1(x) n'admet pas de solution.
f1 admet un maximum pour x = a.
d. Recopier et compléter les pointillés du programme écrit en langage Python ci-dessous, afin qu’il
renvoie une valeur approchée à 10−2 près de la solution a de l’équation f '
1
(x) = 0 sur ]0;+∞[.
def d(x)
return -1-ln(x) / x**2
def alpha()
u =0.5
while d(u) >0 :
u=u+0,01
return u
Partie C : k quelconque
On considère la fonction h définie sur ]0 ;+∞[ par h(x) =
(1+ln x) /
x
,
et la fonction H définie sur ]0 ;+∞[ par H(x) = 0,5
(1+ln x)
2
.
On admet que H est dérivable sur ]0 ;+∞[.
1. Montrer que la fonction H est une primitive de h.
On pose u = 1+ln(x) ; u' = 1/x ; H = 0,5 u2 ; H '(x) = 0,5 *2 u u' = u u' = (1+ln(x)) / x.
On rappelle que k est un réel strictement positif et que fk est la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par :
fk (x) = 1− x +
k(1+ln x)
/ x
2. Existe-t-il une valeur de k pour laquelle la valeur moyenne de la fonction fk sur l’intervalle [1 ; e] est
égale à 0 ?
Justifier.
µ=0 = 2e-e2+3k-1.
k = (e2-2e+1) / 3 =(e-1)2 / 3.
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