Mathématiques, géométrie, Bac Antilles 06/2026 En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . Exercice 2 (5 points). Dans une salle d’escalade, un nouveau module en forme de tétraèdre, destiné à être posé au sol, est en cours de fabrication. Ce module servira à créer des plans inclinés. On munit l’espace d’un repère orthonormé . L’unité est le mètre. On considère les trois points suivants : B(4,5 ; 0 ; 0) ; C(2,25 ; 3 ; 0) et D(1,5 ; 1 ; 3) . On modélise le module par le tétraèdre ABCD. On souhaite analyser ce module pour des raisons de construction et de sécurité. Partie A 1. On représente ci-dessous le triangle ABC et sa hauteur issue de C.   a. Montrer que le triangle ABC est isocèle en C. AC2 =2,252+32+02=14,0625 ; AC = 3,75. BC2 =(2,25-4,5)2+32+02=14,0625 ; BC = 3,75. AC = BC : donc le triangleABC est isocèle en C.  b. Montrer que l’aire du triangle ABC est égale à 6,75 m2 . Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal C est aussi médiatrice du segment AB. I( (xA+xB) /2 ;  (yA+yB) /2 ; (zA+zB) /2 ) I(2,25 ; 0 ; 0).. AB2 =4,52 +02+02= 4,52  ; AB = 4,5. CI2 =(2,25-2,25)2 + (0-3)2 +(0-0)2= 32 ; CI = 3. Aire du triangle ABC =AB x CI / 2 = 4,5 x 3 /2 =6,75 m2.  2. a. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : z = 0. Les coordonnées de ces vecteurs n'étant pas proportionnelles, ils ne sont pas colinéaires.. Les points A, B et C n'étant pas alignés, ils définissent un plan. De plus zA=zB=zC=0, l'équation de ce plan est z = 0. b. Montrer que le point H( 1,5 ; 1 ; 0) est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC). H doit appartenir au plan (ABC), donc zH = 0. La droite (HD) doit être orthogonal à ce plan. Ces deux vecteurs étant colinéaires, la droite (HD) est orthogonale au plan (ABC). H est le projeté orthogonal du point D sur le plan ( ABC). 3. On rappelle que le volume V d’un tétraèdre est donné par V = 1 /3 ×B × h, où B est l’aire d’une base et h la hauteur relative à la base B. En déduire le volume du module. Base ABC ; hauteur HD = 3. Volume = 6,75 * 3 / 3 = 6,75 m3. Partie B 1. On considère le vecteur  n (4 ; 3 ; 3). a. Montrer que le vecteur n est un vecteur normal au plan (BCD). Les coordonnées de ces vecteurs n'étant pas proportionnelles, ils ne sont pas colinéaires et définissent un plan.  b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (BCD) est : 4x +3y +3z −18 = 0. Le vecteur n est orthogonal au plan (BCD). Equation de ce plan : 4x+3y+3z+d = 0. B(4,5 ; 0 ; 0) appartient à ce plan :4*4,5 +0 +0 +d = 0 ; d = -18. c. Donner une représentation paramétrique de la droite D orthogonale au plan (BCD) et passant par D. Le vecteur n (4 ; 3 ; 3) dirige la droite D. x = 4t+xD = 4t+1,5. y = 3t+yD = 3t+1. z = 3t+zD = 3t+3. 2. On admet que la droite D et le plan (ABC) sont sécants et on désigne par L leur point d’intersection. Montrer que L a pour coordonnées(-2,5 ; -2 ; 0) . L appartient à la fois au plan (ABC) et à la droite (D) : z = 3t+3 = 0 ; t = -1. xL =-4+1,5 = -2,5 ; yL = -3+1=-2. zL = -3+3=0. 3. Le module est considéré adapté aux débutants si l’angle LDH est strictement inférieur à 60 °.  Montrer que ce module est adapté aux débutants. DL2 = (-2,5-1,5)2 +(-2-1)2+(0-3)2 =16+9+9=34. DL = 34½ ; DH = 3. 9 = DL*DH *cos(LDH). 9=34½*3 *cos(LDH). cos (LDH) = 3 / 34½~0,514 ; l'angle LDH mesure 59 °.

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