Etude d'une harpe électrique au service des
abeilles, Bac général Centres étrangers 2026.
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Depuis quelques années, les
apiculteurs sont confrontés à l’invasion de frelons asiatiques, qui
s’attaquent aux abeilles de leur rucher. Pour s’en protéger, ils
peuvent placer à proximité de la ruche
une harpe électrique alimentée par un panneau solaire. Au contact de
deux fils de la
harpe, le frelon s’électrocute puis se noie dans un bac d’eau disposé
en dessous de la harpe.
Cet exercice étudie la taille du fil en inox présent sur la harpe, le
système d’alimentation de la harpe
et le module électrique permettant de créer les décharges électriques
neutralisant les frelons
asiatiques.
1. Taille du fil en inox
présent sur la harpe
La harpe électrique est composée de fils en inox verticaux espacés de
2,7 cm, largeur suffisante
pour laisser passer les abeilles, mais pas les frelons asiatiques.
Néanmoins, pour ne pas être vus
par les frelons, les fils doivent avoir un diamètre maximum de l’ordre
de grandeur de 0,5 mm.
Pour s’assurer de la valeur du diamètre d’un fil affichée à 0,45 mm sur
une bobine pressentie pour
fabriquer une harpe électrique, on utilise le dispositif
schématisé ci-dessous. Un fil de diamètre a
est positionné sur le trajet d’un faisceau laser de longueur d’onde l et un écran est placé à
une
distance D du fil. Une série de taches lumineuses apparaît sur l’écran.
La largeur L de la tache lumineuse centrale est directement mesurée sur
l’écran. Les extrémités de
cette tache centrale sont repérées par un angle q défini par rapport à la
direction du faisceau incident
et celle du faisceau émergent.
Q.1. Nommer le
phénomène physique observé sur l’écran.
Diffraction.
Q.2. Exprimer
l’angle caractéristique q
en fonction de la largeur L de la tache centrale et de la
distance D, à l’aide de la figure et en utilisant l’approximation des
petits angles.
tan q ~ q = 0,5 L / D.
Q.3. En déduire la
relation qui donne la largeur L de la tache centrale en fonction de la
longueur
d’onde l, du
diamètre a du fil et de la distance D entre le fil et l’écran. Montrer
qu’il y a
proportionnalité entre L et
1 / a.
De plus q = l / a.
l / a = 0,5 L / D ; L = 2 l D / a.
Pour déterminer précisément la valeur du diamètre du fil
pressenti pour fabriquer la harpe, on réalise
un étalonnage à l’aide de six fils calibrés de diamètre connu. Pour
chacun d’eux, on mesure la
largeur de la tache centrale L observée sur l’écran. On obtient le
tableau de mesures suivant :
a
(µm)
|
40
|
50
|
100
|
120
|
280
|
400
|
L(cl)
|
9,50
|
7,40
|
3,95
|
3,20
|
1,35
|
1,00
|
On trace le graphe L = f(1/a) :
Q.4. Justifier que
les résultats expérimentaux de la figure sont compatibles avec la
modélisation
L = k ×
1/
a où k est une constante.
Les points sont alignés : L = k * 1 /a.
Q.5. Déterminer la
valeur de k en précisant la méthode utilisée.
k = 9,4 10-2 / (25 103)~3,8 10-6.
Une modélisation de la série de mesures permet d’obtenir k = 3,85 × 10−6
m2 et
u(k) = 0,05 × 10−6 m2
.
Le montage expérimental est utilisé avec le fil dont on cherche à
vérifier le diamètre
La mesure de la
largeur de la tache centrale pour ce fil est L = 8,0 mm avec une
incertitude-type
u(L) = 0,5 mm.
Q.6. Calculer la
valeur du diamètre a de ce fil à partir de la modélisation.
L = 3,85 10-6 / a ; a = 3,85 10-6
/ L =3,85 10-6 / (8,0 10-3) =4,8 10-4
m= 0,48 mm.
L’incertitude-type u(a) sur la valeur a du
diamètre expérimental du fil est donnée, dans les conditions
de la série de mesures, par la relation suivante :
u(a) = 4,8 10-4 × [(u(k) / k)2
+(u(L) / L)2 ]½
.
Pour décider de la compatibilité du résultat d’une mesure avec une
valeur de référence, on peut
utiliser le quotient |x-xref|
/ u(x)
où x est la valeur mesurée, xref la valeur de référence et
u(x) l’incertitude-type
associée à la valeur mesurée x.
Q.7. Calculer la
valeur de l’incertitude-type u(a) associée à la valeur expérimentale de
a.
u(a) = 4,8 10-4 × [(0,5 ) / 3,8)2 +(0,5) / 8)2 ]½
= 7 10-5 m = 0, 07 mm.
Q.8. Vérifier que
le résultat de la mesure est compatible avec la valeur de référence
affichée sur la
bobine (aref = 0,45 mm). Conclure quant à l’usage ou non de
ce fil pour construire une harpe
électrique.
|x-xref|
/ u(x) = (0,48-0,45) / 0,07 =0,4,
aleur inférieure à 2.
Le
résultat de la mesure est compatible avec la valeur de référence
Ce fil est utilisable pour la fabrication de la harpe.
|
.
|
....
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2. Alimentation électrique de la harpe
: le panneau solaire
Associé à une batterie, un panneau solaire photovoltaïque alimente
électriquement la harpe. Le
panneau solaire est constitué de cellules photovoltaïques qui
convertissent l’énergie lumineuse en
énergie électrique. On se propose de vérifier les performances du
panneau photovoltaïque
alimentant la harpe et la batterie.
Données :
- Panneau solaire photovoltaïque : - dimensions : 640 mm x 550 mm ;
- puissance lumineuse reçue : Plum = E × S avec E
l’éclairement en W∙m−2 et S la surface
utile du convertisseur en m2 ;
- rendement annoncé : 14 %.
- Éclairement moyen au cours de l’été (période d’invasion du frelon
asiatique) sur le rucher où
est placée la harpe : E = 1 000 W∙m−2 ;
- Capacité de la batterie : Q = 18,0 A∙h.
- Relation entre la capacité (ou quantité d’électricité
transférée) Q (en A∙h) et la durée de
transfert Dt (en
h), pour une intensité électrique I (en A) : Q = I × Dt .
Afin de vérifier le rendement du panneau photovoltaïque, on réalise le
montage électrique suivant :
L’intensité I du courant électrique ainsi que la tension électrique U
aux bornes du panneau sont
mesurées.
Q.9. Nommer le phénomène
qui intervient dans la conversion d’énergie lumineuse en énergie
électrique lors du fonctionnement du panneau photovoltaïque et le
décrire en une ou deux
phrases.
Effet photovoltaïque : les photons incidents sont absorbés par le
semi-conducteur ; les électrons peuvent franchir la bande Egap,
passant de la bande de valence à la bande de conduction. D'où l'origine
du courant électrique.
Dans les conditions d’éclairement du panneau photovoltaïque l’été, la
puissance électrique
maximale fournie et mesurée est Pm = 50 W.
Q.10. Calculer la
valeur du rendement du panneau photovoltaïque. Commenter.
Plum = E × S = 1000 x 0,64 x 0,55=352 W
Rendement = 50 / 352 =0,14 ( 14 %), conforme à la valeur annoncée..
L’énergie électrique produite par le panneau photovoltaïque est envoyée
vers un régulateur solaire
qui la répartit vers la harpe et/ou vers la batterie pour la charger.
Cette dernière alimente la harpe
en l’absence de lumière ou d’un ensoleillement insuffisant. L’intensité
électrique fournie par le
panneau photovoltaïque est I = 2,8 A dans les conditions
d’ensoleillement de la harpe.
Q.11. Estimer la
valeur de la durée de charge de la batterie si toute l’intensité
du courant
électrique provenant du panneau photovoltaïque est intégralement
fournie à la batterie.
Commenter la valeur obtenue.
Q = I Dt ; Dt = Q / I = 18 / 2,8 =6,4
h, valeur inférieure à la durée d'ensoleillement. La batterie peut être
rechargée.
3. Module électronique
Le module électronique de la harpe contient un condensateur. Celui-ci
est chargé sous une
tension U1 = 1 500 V. Lorsqu’un frelon s’approche et touche
deux fils de la harpe, le condensateur
délivre en un bref instant l’énergie accumulée : il se décharge dans le
frelon asiatique considéré
alors comme un conducteur ohmique de résistance r.
On cherche à retrouver la valeur de la capacité C du condensateur dans
le but de déterminer ensuite
l’énergie libérée vers le frelon lors de la décharge. Pour cela, au
laboratoire, à l’aide d’un système
d’acquisition, on réalise le montage schématisé ci-dessous, constitué
du condensateur étudié, d’un
conducteur ohmique de résistance R = 2,00 kW, d’un interrupteur
initialement ouvert et d’un
générateur idéal délivrant une tension continue E = 5,0 V.
On étudie la charge du condensateur (initialement déchargé) de capacité
C à partir de la date t = 0 s,
date à laquelle l’interrupteur est fermé. Le système d’acquisition
fournit alors l’évolution temporelle
de la tension uc(t) aux bornes du condensateur.
Q.12. Montrer que
l’équation différentielle modélisant l’évolution de la tension uc(t)
aux bornes du
condensateur lors de sa charge peut s’écrire :
duc
dt
+
1/ t
uc=
E / t
où t est le temps
caractéristique,
avec t = R·C.
Additivité des tensions : E = uR+uC ;
uR = R i ; i = dQ /dt = C duC /dt.
E = RC duC/dt + uC ; duC/dt + uC
/(RC) = E / (RC).
duc
dt
+
1/ t
uc=
E / t .
La solution de l’équation différentielle est de la forme uc(t)
= A∙exp(
−t /t) + E
Q.13. Déterminer la
valeur de A.
uc(t=0) = 0 = A +E ; A = -E.
Q.14. Déterminer la
valeur de la constante de temps t
en expliquant la méthode graphique
employée.
Q.15. En déduire la
valeur expérimentale de la capacité C du condensateur.
55 10-6 = RC =2 000 C ; C = 55 10-6 / 2000 = 2,8
10-8 F.
L’énergie emmagasinée Econd dans un condensateur de capacité
C, soumis à une tension à ses
bornes U vaut :
Econd = 0,5
× C × U
2
.
Q.16. Calculer une
valeur de l’énergie libérée par le condensateur lorsqu’un frelon touche
la harpe
électrique.
Econd = 0,5
× 2,8 10-8 × 1500
2 = 0,031 J.
Parfois, la météo ne permet pas de production d’énergie grâce au
panneau solaire. Néanmoins, le
module électronique de la harpe consomme toujours une énergie de 98,8 J
par minute le jour (en
l’absence de frelon) et 72,1 J par minute la nuit (du fait de la mise
en veille du module électronique).
Durant la saison apicole où les harpes électriques sont utilisées, on
estime que la durée moyenne
du jour est de 14 h 17 min et celle de la nuit à 9 h 43 min.
Q.17. Calculer
l’énergie consommée par le module électronique sur une journée.
Comparer cette
énergie avec celle délivrée par le condensateur pour électrocuter un
frelon.
Données concernant la batterie :
- Tension : Ubatterie = 12,0 V ;
- Capacité : Qbatterie = 18,0 A∙h ;
- Conversion : 1 A∙h équivaut à 3 600 J ;
- Relation entre l’énergie E (en J) emmagasiné dans une batterie, la
capacité Q (en C) et la
tension U (en V) : E = Q × U.
Energie consommée le jour : 98,8 x(14x60+17)=8,4 104 J.
Energie consommée la nuit: 72,1 x(9x60+43)=4,2 104 J.
Total : 1,26 105 J, 106 fois plus grande que
l'énergie consommée pour tuer un frelon..
L’autonomie de la batterie est d’environ 6 jours. On observe que ce
dispositif peut piéger au moins
1 000 frelons par jour en période d’invasion. Q.18. Indiquer, en justifiant la
réponse, si le nombre de frelons électrocutés influence beaucoup
l’autonomie de la batterie.
Ebatterie = Q U = 18 x3600 x12 =7,8 105 J.
Energie nécessaire pour tuer 1000 frelons : 31 J.
Consommation quotidienne du système électronique : 1,26 105
J.
Le nombre de frelons tuer influence très peu l'autonomie de la batterie.
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