Mathématiques, équation différentielle, Bac
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d’intérêts.
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Exercice
4 (6 points).
Partie A.
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé trois courbes C1 , C2 et C3 .
Les courbes correspondent aux représentations graphiques de trois fonctions définies sur R : une fonction f , sa dérivée f
′
et sa dérivée seconde f
′′
.
Associer chacune des fonctions f , f
′
et f
′′ à sa courbe représentative. Aucune justification n’est attendue.
Le signe de f '' donne les variation de la fonction f ' ainsi que la convexité de la fonction f.
Le signe de f ' donne les variation de la fonction f.
C1 représente f ; C2 représente f ".
C3 représente f '.
Partie B
On considère l’équation différentielle (E) définie par y
′ + y = (2x − 3) e−x où y est une fonction de la
variable réelle x.
1. On considère la fonction g définie sur R par
g (x) =(
x
2 −3x )
e
−x
.
Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l’équation différentielle (E).
Calcul de g'(x) en posant u = x2-3x et v = e-x.
u' = 2x-3 ; v' = -e-x.
u'v-v'u = (2x-3)e-x -(x2-3x)e-x =(-x2+5x-3)e-x.
g'(x) +g(x) = (-x2+x2-3x+5x-3)e-x=(2x − 3) e−x .
2. Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle y
′ + y = 0.
h(x) = A e-x avec A une constante réelle.
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
f(x) =h(x) + g(x) = (
x
2 −3x + A)
e
−x
.
4. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) telle que f (0) = 2.
f(0) = A e0 = A = 2.
f(x) = (
x
2 −3x + 2)
e
−x
.
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Partie C
On considère la fonction f définie sur R par
f (x) = e
−x (
x
2 −3x +2 )
et on note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1. Étudier le signe de la fonction f sur R.
e-x est strictement positif.
f(x) a donc le signe de x2-3x+2.
Solutions de x2-3x+2=0
D =(-3)2 -4*2=1.
Solutions : x1 = (3+1) / 2 =2 et x2 = (3-1) / 2 = 1.
Le signe du polynôme du second degré est celui du coefficient dominant sauf entre les racines.
f(x) < 0 sur ]1 ; 2[ ; f(x) >0 sur ]-oo ; 1[ union ]2 ; +oo[.
f(1) = f(2) =0.
2. a. Déterminer la limite de la fonction f en −∞.
e-x tend vers +oo et x
2 −3x +2 tend vers +oo : f(x) tend vers +oo.
b. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
e-x tend vers 0 et x
2 −3x +2 tend vers +oo : par produit f(x) tend vers 0.
3. On note I l’intégrale définie par :
a. À l’aide de deux intégrations par parties successives, démontrer que I = 1−
1
/e
.
On pose u = x2-3x+2 ; u' = 2x-3 et v' =e-x ; v =-e-x.
On pose u' = e-x et v =2x-3 ; u = -e-x ; v' = 2.
I = 2-1-e-1 = 1-e-1.
b. Interpréter graphiquement ce résultat.
I est l'aire du domaine délimité par la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équation x =0 et x = 1.
Partie D
On considère un réel a.
On note (Ta) la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse a.
1. Démontrer que le point d’intersection de la tangente (Ta) et de l’axe des ordonnées a pour ordonnée
(
a
3 −4a
2 +2a +2 )
e
−a.
Equation réduite de la tangente à la courbe Cf au point d'abscisse a :
y = f '((a) (x-a) +f(a) = f '(a) x-a f '(a)+f(a).
Ordonnée à l'origine : f(a)- a f '(a)
f est solution de l'équation différentielle (E), donc f '(x) + f(x) = (2x+3)e-x.
f '(x) = (2x+3)e-x-f(x)= (2x+3)e-x-(x2-3x+2)e-x=(-x2+5x-5)e-x.
f(a)-a f '(a) = e-a(a2-3a+2) -a(-a2+5a-5)e-a=(a3-4a2+2a+2)e-a.
Ordonnée du point d'intersection de la tangente et de l'axe des ordonnées : (a3-4a2+2a+2)e-a.
2. Déterminer le nombre de tangentes à la courbe Cf passant par l’origine du repère.
Le candidat explicitera les étapes de la démarche utilisée.
(a3-4a2+2a+2)e-a=0.
Solutions de l'équation g(x)=x3-4x2+2x+2 =0.
g(x) = x3(1-4/x+2/x2+2/x3).
Limite de x3 en -oo : -oo.
Limite de 1-4/x+2/x2+2/x3) en -oo :1.
Par produit des limites h(x) tend vers -oo si x tend vers -oo.
On trouve de même la limite de g(x) en +oo : g(x) tend vers +oo.
g'(x) = 3x2-8x+2.
Solutions de g'(x) = 0 : D = (-8)2 -4*2*3=40.
x1 = (8-40½) / 6 = (4-10½) / 3.
x2 = (4+10½) / 3.
La calculatrice donne h(x1) >0 et h(x2) <0.
Sur l'intervalle ]-oo ; x1], la fonction h est continue ( car dérivable) ; de plus elle est strictement croissante de -oo à h(x1) >0.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation h(x) =0 admet une solution unique sur cet intervalle.
Il en est de même sur les intervalles ]x1 ; x2[ et ]x2 ; +oo[
Par conséquent l'équation h(x) = 0 admet 3 solutions sur R ; il existe
trois tangentes à la courbe passant par l'origine du repère.
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