Mathématiques, géométrie, Bac Centres étrangers 06/2026

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Exercice 3 (4 points).
On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous.

Soit I le milieu du segment [EF], J le milieu de [EH] et K le milieu de [AE].
1. Donner les coordonnées des points I, J et K.
I(0,5 ; 0 ; 1) ; J (0 ; 0,5 ; 1) ; K(0 ; 0 ; 0,5).
2. a. Déterminer la valeur du produit scalaire suivant.

b. En déduire la mesure de l’angle IAJ arrondie au dixième de degré.
AI2 =0,52 +02 +12 = 1,25 = 5 /4 ; AI = 5½ / 2.
AJ2 = 02 +0,52 +12 = 5 /4 ; AJ = 5½ / 2.
Par suite AI * AJ cos (IAJ) = 1 ; cos ( IAJ) = 1*4/5= 0,8 ; l'angle IAJ mesure 36,9°.

 3. a. Démontrer que le vecteur KC est un vecteur normal au plan (AIJ).

Le vecteut KC est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan AIJ.bLe vecteur KC est orthogonal au plan ( AIJ)
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (AIJ) est x + y − 0,5 z = 0.
Une équation du plan (AIJ) est de la forme : x+y-0,5z+d=0.
A(0 ; 0 ; 0) est un point de ce plan  : xA+yA-0,5zA+d=0 ; d = 0.
Equation de ce plan : x + y − 0,5 z = 0.
 4. Soit L le projeté orthogonal du point C sur le plan (AIJ).
 a. Déterminer les coordonnées du point L.
La droite (KC) est orthogonale au plan (AIJ).
Coordonnées d'un vecteur directeur de la droite (KC) : (1 ; 1 ; -0,5).
Représentation paramétrique de cette droite : x = 1+t ; y = 1+t ; z = 0-0,5t = -0,5 t.
L est un point de la droite (KC) : xL = 1+t ; yL = 1+t ; zL = -0,5 t.
L est un point du plan (AIJ) : xL + y L− 0,5 zL = 0.
1+t+1+t  -0,5*(-0,5t)=0
2+2,25t = 0 ; t = -2 / 2,25 = -2 /(9/4) = -8/9.
Par suite les coordonnées de L sont (1-8/9 ; 1-8/9 ; -0,5 *(-8/9) soit (1/9 ; 1/9 ; 4/9).
b. En déduire que la distance du point C au plan (AIJ) est égale à 4/3 .
L est le projeté orthogonal du point C sur le plan ( AIJ) : CL est la distance du point C à ce plan (AIJ).
CL2 =(1/9-1)2 + (1/9-1)2 +(4/9-0)2 =(-8/9)2 +(-8/9)2 +(4/9-0)2 = 64 / 81 + 64 /81 +16 /81 = 144 / 81 ; CL = 12 /9 = 4 /3.
5. Soit M un point de la droite (FG). On admet que les coordonnées de M sont (1 ;m ; 1) avec m appartenant à R.
 a. Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite (IM) est :
x = 0,5 s + 0,5 ;  y = ms ;  z = 1 avec s réel.
Coordonnées du vecteur IM ; (1-0,5 ; m-0 ; 1-1) soit (0,5 ; m ; 0).
Représentation paramétrique de cette droite (IM) :
x = 0,5 s + xI = 0,5 s +0,5.
y = mx +yI = m s ;
z = 0 s+ zI = 1.
 b. Peut-on affirmer que les droites (IM) et (KC) sont coplanaires quelle que soit la valeur de m ?
Coordonnées du vecteur KC ( 1 ; 1 ; -0,5) ;
Coordonnées du vecteur IM ( 0,5 : m ; 0).
Ces vecteurs n'étant pas colinéaires, les droites (IM) et KC) ne sont pas parallèles.
Dans l'hypothèse ou ces droites seraient sécantes, le système suivant admet une unique solution :
1+t = 0,5 +0,5 s
1+t = ms
-0,5t = 1.
t = -2.
1-2=0,5 +0,5 s ; -1,5 = 0,5 s ; s = -3.
1+(-2) = m(-3) ; m = 1 /3.
Le système admet une unique solution pour m = 1/3.
Les droites sont coplalaires si m = 1/3.
Les droites ne sont pas coplanaires quelle que soit la valeur de m.

Exercice1. 4 points.
L’espace est muni d’un repère orthonormé . On considère :
 • les points de l’espace A(1; 0; 3), B(2; 1;−1), C(1; 1; 1) et H(0; 2; 1);
 • le vecteur n de coordonnées (4 ; 4 ; 2).
1. Démontrer que les points A, B et C définissent un plan de l’espace.

Les coordonnées n'étant pas proportionnelles, les vecteurs ne sont pas colinéaires.Les points A, B et C ne sont pas alignés ; ils définissent un plan de l'espace.
2. Démontrer que le vecteur n est un vecteur normal au plan (ABC).

Le vecteur n est ortogonal à deux vecteurs non colinéaires su plan (ABC) ; le vecteur n est ortogonal au plan (ABC).
3. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
4x+4y+2z +d = 0.
A (1 ; 0 ; 3) appartient au plan (ABC) :
4xA+4yA +2zA +d = 0.
4*1+4*0+2*3+d =0
d = -10.
4x+4y+2z -10 = 0.
Ou encore : 2x+2y+z -5=0.
 4. Vérifier que le point H appartient au plan (ABC).
2xH+2yH+zH -5=2*0+2*2+1 -5 =0 est bien vérifié, donc H appartient au plan (ABC).
 5. Déterminer la mesure en degré de l’angle BAH. 

AB2 = 12+12+(-4)2 =18=2*9 ; AB =3*2½.
AH2 = (-1)2+22+(-2)2 =9 ; AH =3.
AB *AH cos (BAH) = 9 ;
cos (BAH) = 9 / (3*3*2½)=1/2½.
L'angle BAH mesure 45°.
6. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) orthogonale au plan (ABC) et passant par le point H.
Le vecteur n est normal au plan (ABC) ; c'est un vecteur directeur de la droite (d).
Représentation paramétrique de la droite (d) :
x = 4t+xH =4t.
y = 4t+yH = 4t + 2.
z = 2t+zH =2t +1 avec t réel.
7. Déterminer les coordonnées du point S de la droite (d) tel que  la distance entre le point S et le plan (ABC) est 6.
Son abscisse xS est positive.
H appartient à la droite (d) et au plan (ABC) ;  la droite (d) est orthogonale au plan (ABC)
Donc H est le projeté orthogonal du point S sur le plan (ABC).
SH est la distance du point S au plan (ABC) .
xS = 4t ; yS =2+4t ; zS =1+2t.
SH2 =(0-4t)2 + (2-2-4t)2+(1-1-2t)2 =16 t2+16t2 +4t2 =36 t2.
SH = 6 t avec t >0 ( une distance est positive).
De plus la distance du point S  au plan (ABC) vaut 6.
6t = 6 ; t = 1.
Coordonnées du point S ( 4 ; 6 ; 3).



  
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