Un champion du monde inattendu, Bac
Métropole 09 / 2026
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Exercice
3 (5,5 points).
En 2010, deux
chercheurs entomologistes ont filmé et étudié des sauts de puces dans
le but d’étudier leurs caractéristiques mécaniques. L’objectif de cet
exercice est d’étudier dans un premier temps l’un des sauts de cette
étude, puis dans un second temps de le comparer au saut humain réalisé
par l’athlète Arne Tvervaag, détenteur du record du monde officiel du
saut en longueur sans élan depuis 1968.
1. Étude du saut de puce
le plus long.
Dans cette partie, on étudie le centre de masse d’une puce, de masse m,
effectuant un saut dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Les
frottements de l’air sont négligés. Le saut considéré comme le meilleur
est celui dont la vitesse initiale est la plus élevée.
Données :
intensité de la pesanteur : g = 9,81 m·s–2 ;
masse volumique de l’air : r
= 1,20 kg·m–3 ;
expression de la norme de la poussée d’Archimède : F = r·Vpuce·g où Vpuce
représente le volume de la puce ;
masse de la puce : m = 1,00 mg ;
volume de la puce : Vpuce = 4,19·10-9 m3
;
Q1. Montrer que la
valeur de la poussée d’Archimède F exercée par l’air sur la puce est
négligeable devant celle de son poids P.
P = mg = 1,00 10-6 *9,81 =9,81 10-6 N.
F = r·Vpuce·g
=1,20 x 4,19 10-9 *9,81 =4,9 10-8
N << P..
La figure
ci-dessous est un extrait de la chronophotographie du saut de la puce.
On y a ajouté le repère d’espace (Ox ; Oy) dans lequel Oy est la
verticale ascendante. Le sol coïncide avec le plan y = 0.
Q2. Reproduire sur
la copie les axes (Ox) et (Oy) de la figure 1 et faire apparaître la
position initiale de la puce en O, le vecteur vitesse initiale v0,
l’angle a entre v0
et l’axe (Ox) et l’allure de la trajectoire attendue.
Q3. Établir, en
utilisant une loi de Newton, les expressions des coordonnées ax
et ay du vecteur accélération dans le repère (Ox ; Oy).
La puce n'est soumise qu'à son poids P = mg, verticale vers le bas.
La seconde loi de Newton conduit à : ax = 0 ; ay =
-g.
Q4. Déduire de la
question précédente les équations horaires vx(t) et vy(t)
de la vitesse puis de la position x(t) et y(t) dans le repère (Ox ; Oy).
La vitesse est une primitive de l'accélération :
vx = v0 cos a.
vy = -gt+ v0 sin a.
La position est une primitive de la vitesse et la puce est en O à
l'instant initial.
x = v0 cos a t
y = -½gt2
+ v0 sin a t
Q5. Montrer que l’équation de la
trajectoire du saut de la puce est :
y(x) = -½g x2
/ (v0 cos a)2 + tan a x.
t = x / (v0 cos a) ; repport dans y :
y(x) = -½g x2
/ (v0 cos a)2 +v0 sin a x / (v0 cos a)
y(x) = -½g x2
/ (v0 cos a)2 + tan a x.
La distance au sol parcourue durant le
saut, entre le point de départ de la puce et le point où elle retombe
sur le sol, est appelée la portée et notée p.
Q6. Déterminer
l’expression de la portée p du saut de la puce.
y(p) = -½g p2 / (v0 cos a)2 + tan a p = 0.
-½g p / (v0 cos a)2 +sin a /cos a= 0.
-½g p / (v02 cos a) +sin a = 0.
½g p / (v02 cos a) =sin a .
p =2 v02 cos a sin a / g.
p = v02
sin(2a) / g.
Pour le saut de puce le plus long mesuré
dans l’étude, on a pu mesurer v0 = 1,90 m·s–1
et a = 45 °.
Q7. Calculer la valeur numérique de la portée
de ce saut et commenter le résultat.
p = 1,92/9,8
=0,37 m.
Une valeur très
grande par rapport aux dimensions de la puce.
On souhaite déterminer
l’incertitude-type sur la portée du saut de puce le plus long, calculée
à la
question précédente,
sachant que la vitesse initiale v0 est connue avec une incertitude-type u(v0)
et
que l’angle initial a est connu avec une
incertitude-type u(α).
On réalise pour cela une simulation
numérique d’un processus
aléatoire, écrite en langage de programmation Python, et donné
ci-dessous.
Q8. Recopier sur la copie les lignes
6 et 9 du programme et les compléter avec les valeurs des paramètres
expérimentaux correspondant au saut le plus long.
ligne 6 : v0 =1.90
ligne 9 : alpha=0.785
Q9. Écrire sur la
copie un commentaire possible à la ligne 14 expliquant la ligne 15.
ligne 14# calcul de la portée.
On donne ci-dessous le résultat affiché par le programme :
Valeur de la portée : x = 0.368367 m
incertitude type sur x : u(x) = 0.08356 m.
Q10. À partir des
résultats de la simulation, écrire la valeur de l’incertitude-type sur
la portée avec deux chiffres significatifs. Écrire alors la valeur de
la portée calculée avec un nombre adapté de chiffres significatifs.
u(x) / x = [(u(v0) / v0)2+(u(a) / a)2]½ =[(0,21 / 1,9)2+(0,05) / 0,785)2]½
=0,13.
u(x) = 0,13 *0,37=0,047 ~0,05 m
x =0,37 ± 0,05 m.
La portée moyenne
calculée pour l’ensemble des sauts réalisés dans l’étude vaut 17,9 cm.
Cette
portée est prise comme portée de référence.
Q11. Discuter de
l’accord du résultat de la portée du saut de puce le plus long avec la
portée de référence.
(0,3668-0,179) / 0,08356 = 2,3 > 2. Donc désaccord entre la portée du saut de
puce le plus long avec la portée de référence.
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2. Record du monde de saut
en longueur
Pour sauter, les puces stockent puis libèrent de l’énergie élastique
comme pourrait le faire un ressort comprimé brusquement relâché. Cela
leur permet de développer une puissance plus importante que par la
simple contraction des muscles.
On souhaite comparer la puissance par kilogramme de muscle développée
par la puce étudiée dans la partie 1 avec celle développée par Arne
Tvervaag lors de son record du monde de saut en longueur sans élan de
3,71 m établi en 1968.
Données :
Pour la puce ayant réalisé le saut le plus long :
- masse de la puce : m1 = 1,00×10–6 kg ;
- la masse de muscles sollicitée lors du saut de la puce est d’environ
11 % de sa masse totale ;
- vitesse initiale en début de saut, après l’impulsion : v0
= 1,90 m·s–1 ;
- durée estimée de l’impulsion : 1,2×10–3 s.
Pour Arne Tvervaag :
- masse estimée : m2 = 70 kg ;
- la masse de muscles sollicitée lors du saut de Arne Tvervaag est
d’environ 40 % de sa masse totale ;
- vitesse initiale en début de saut, après l’impulsion : v2
= 6,0 m·s–1 ;
- durée estimée de l’impulsion : 0,40 s.
Q12. Après avoir
calculé les énergies cinétiques en début de saut de la puce et d’Arne
Tvervaag, déterminer la puissance par kilogramme de muscle développée
durant l’impulsion précédant le saut par la puce et par le sauteur
humain. Commenter.
Ec = ½mv2.
Pour la puce
: 0,5 *1,00 10-6 x1,902 =1,80 10-6 J.
Puissance : 1,80 10-6 / (1,2 10-3) =1,5 10-3
W.
Masse de muscles : 1,00 10-6 *0,11=1,1 10-7 kg.
Puissance par kg de muscles : 1,5 10-3 / (1,1 10-7)
=1,36 104 W kg-1.
Pour
Arne Tvervaag : 0,5 *70 x6,02 =1,26 103 J.
Puissance : 1,26 103 / 0,40 =3,15 103 W.
Masse de muscles : 70 *0,40=28 kg.
Puissance par kg de muscles : 3,15 103 / 28 =1,13 102
W kg-1.
La puce développe environ 100 fois plus de puissance par kilogramme de
muscles que Arne Tvervaag.
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