Mathématiques. Probabilités. Métropole, Réunion, 09 /2026. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 10−1 près. Les parties A, B et C sont indépendantes les unes des autres et peuvent donc être traitées séparément. Partie A On s’intéresse au respect des délais de livraison de colis à domicile dans une agglomération. Une étude a permis d’établir que : - lorsque le livreur est expérimenté, le délai de livraison est respecté pour 95 % des colis; - lorsque le livreur est débutant, le délai de livraison est respecté pour 75 % des colis. Dans une entreprise qui emploie ses propres livreurs parmi lesquels 60 % sont expérimentés et les autres sont débutants, on s’intéresse à une livraison choisie au hasard. On note : - E l’évènement : « la livraison est effectuée par un livreur expérimenté »; - R l’évènement : « le délai de livraison est respecté ». 1. Calculer P(E ∩R). On pourra s’appuyer sur un arbre de probabilité.   2. Justifier que P(R) = 0,87. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. Formule des probabilités totales : P(R) = P(E n R) + P(non E n R) = 0,57+0,30=0,87. 87 % des livraisons respectent le délai de livraison. 3. Sachant qu’un colis a été livré en respectant les délais de livraison, quelle est la probabilité qu’il ait été livré par un livreur expérimenté ? PR(E) = P(E n R) / P(R) =0,57 / 0,87=0,655. Partie B Dans le but d’améliorer le service livraison, l’entreprise analyse un échantillon de 200 livraisons prises au hasard parmi celles effectuées par un livreur expérimenté sur une période donnée. On rappelle que la probabilité qu’un livreur expérimenté respecte les délais de livraison est 95 %. On suppose que le nombre de colis est assez important pour que l’on puisse assimiler le choix de cet échantillon à des tirages successifs avec remise. On note X la variable aléatoire égale au nombre de colis livrés en respectant les délais de livraison parmi les livraisons de cet échantillon. 1. Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. "Choisir une livraison effectuée par un livreur expérimenté " est une épreuve de Bernoulli comptant le nombre de succès ; elle suit la loi binomiale de paramètres n = 200, p = 0,95. 2. L’évènement « tous les colis ont été livrés en respectant les délais de livraison » est-il un événement impossible ? Justifier. Il s'agit de l'événement X = 200. P(X=200)=  (200200) *0,95200 *0,050 =3,5 10-5. Cet événement est très peu probable ; il n'est pas impossible. 3. Donner P(X > 190) puis interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. P(X > 190) = 1-P(X < 189)=0,583 d'après la calculatrice. La probabilité qu'au moins 190 des 200 colis soient livrés dans les délais est égale à 0,583. Partie C Deux zones géographiques sont desservies sans que les livraisons dans l’une n’aient d’incidence sur celles dans l’autre : -en zone A, les délais de livraison sont respectés dans 85 % des cas; - en zone B, les délais de livraison sont respectés dans 90 % des cas.  L’entreprise observe 120 livraisons effectuées en zone A et 80 livraisons effectuées en zone B. On note :   XA la variable aléatoire comptabilisant le nombre de colis livrés respectant les délais de livraison en zone A; XB la variable aléatoire comptabilisant le nombre de colis livrés respectant les délais de livraison en zone B;  S = XA + XB la variable aléatoire donnant le nombre total de colis livrés respectant les délais de livraison. On admet que XA suit une loi binomiale B(120 ; 0,85) et que XB suit une loi binomiale B(80 ; 0,90) 1. Calculer l’espérance et la variance des variables XA et XB. E(XA) = n p = 120 x 0,85=102. E(XB) = n p = 80 x 0,90=72. V(XA) = n p (1-p) = 120 *0,85 *0,15=15,3. V(XB) = n p (1-p) = 80 *0,90 *0,10=7,2. 2. Calculer E(S). Linéarité de l'espérance : E(S) = E(XA) +E(XB) =102+72=174. 3. Quelle condition permet d’affirmer que V (S) = 22,5 ? Les livraisons sur une zone n'ont pas d'incidence sur les livraisons sur l'autre zone. Les variables X1 et X2 sont indépendantes ;  la variance de leur somme est la somme de leurs variances. V(S) = 15,3 +7,2 = 22,5. 4. À l’aide d’une inégalité de Bienaymé-Tchebychev, minorer P(S appartient à  [165 ; 183]) et interpréter le résultat. Le centre de l'intervalle est 174. |S-174| < 10. P(|S-E(S)|> a) < V(S) / a2. P(|S-174|> 10) < 22,5 / 102. P(|S-174|> 10) < 0,225. Passer  à l'événement contraire : P(|S-174|< 10) >1- 0,225 P(|S-174|< 10) >0,775. La probabilité que le nombre total de colis livrés dans les délais soit compris entre 165 et 183  est  supérieure ou égale à 77,5 %. Partie A Une joueuse de basket constate qu’elle réussit 60 % de ses lancers francs au cours d’une séance d’entraînement. En se basant sur ces statistiques, on modélise la situation comme une succession d’épreuves aléatoires indépendantes. 1. Cette joueuse effectue cinq lancers consécutifs.  a. Soit 𝑋 la variable aléatoire donnant le nombre de lancers réussis. Justifier que 𝑋 suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. Expérience aléatoire  " la joueuse effectue un lancer franc" est une épreuve de Bernoulli. Probabilité du succès p = 0,6. Cette expérience est répétée 5 fois de la même manière ; les lancers sont indépendants. X compte le nombre de succès. X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,6. b. Donner une valeur approchée à 10−2 près de P(X >4). Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. P(X >4) = P(X=4)+P(X=5)= 0,34 d'après la calculatrice. La joueuse réussit 4 ou 5 lancers francs dans 34 % des séries de 5 lancers.  2. On suppose maintenant que cette sportive doit effectuer n lancers, où n est un entier naturel non nul. Soit Y la variable aléatoire donnant le nombre de lancers réussis. On admet que la variable aléatoire Y suit la loi binomiale de paramètres n et p = 0,6. a. Montrer que P(Y > 1) = 1 − 0,4n . P(Y >1)=1-P(Y=0). P(Y=0) = (n0) x0,60 x0,4n =0,4n. P(Y >1)=1-0,4n. b. En déduire le nombre n de lancers à partir duquel la probabilité d’en réussir au moins un dépasse 0,999 9. P(Y >1)=1-0,4n> 0,9999. 1-0,9999 < 0,4n. ln(0,0001) < n ln(0,4) n > ln(0,0001) / ln(0,4) ; n > 10,05 soit 11 lancers. c. Recopier et compléter le script de la fonction Python suivante afin qu’elle permette de retrouver le résultat de la question 2. b. def basket (): p = 0.6 n = 1 while p < 0.9999 : n = n + 1 p = 1-0.4**n return n Partie B Pour un autre joueur, on remarque que : - lorsqu’il a réussi un lancer franc, il réussit le suivant avec une probabilité de 0,7. - lorsqu’il a raté un lancer franc, il réussit le suivant avec une probabilité de 0,4. On considère que la probabilité de réussir son premier lancer est de 0,5 On note G1 l’évènement : « le joueur réussit son premier lancer franc ». On a donc P(G1)= 0,5. On note G2 l’évènement : « le joueur réussit son deuxième lancer franc ». 1. Calculer P(G2 ). On pourra utiliser un arbre de probabilité. Soit n un entier naturel non nul. On note Gn l’évènement « le joueur réussit le n-ième lancer franc » et pn, la probabilité de Gn. On définit ainsi une suite (pn) de réels. On admet que pour tout n> 1, pn+1 = 0,3pn + 0,4.  2. a. En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout n> 1, pn  < pn+1. Initialisation : p1 = 0,5 et p2 = 0,55 ; p1 < p2. La propriété est vraie au rang 1. Hérédité : pn < pn+1 est supposé vraie. 0,3 pn < 0,3 pn+1. 0,3 pn +4< 0,3 pn+1+4. pn+1 < pn+2 . Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier naturel n non nul  b. Quel argument permet d’affirmer que la suite (pn) est majorée ? 0 < pn < 1. La suite est bornée par 0 et 1. Elle est majorée par 1. c. En déduire que la suite (pn) est convergente. La suite est croissante et majorée par 1 :  elle converge vers une limite inférieure ou égale à 1. 3. On admet que la limite de (pn) quand n tend vers +∞ est 4/7 . Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice. Après un grand nombre de lancers francs, le joueur réussit en moyenne  4 lancers sur 7.

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