Mathématiques.Fonctions, suites. Métropole, Réunion, 09 /2026.

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.

.
...
Soit f la fonction définie sur ]−3 ; +∞[ par : f (x) = 2x /(x +3) . On admet que f est dérivable sur ]−3 ; +∞[.
1. Vérifier, en détaillant les calculs, que pour tout réel x de ]−3 ; +∞[, f ′ (x) = 6 /(x +3)2 . En déduire que f est croissante sur ]−3 ; +∞[.
On pose u = 2x ; v = x+3  ; u' = 2 ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 = (2x+6-2x) / (x+3)2 = 6 /(x +3)2 .
f '(x) >0 ; f(x) est strictement croissante.
 Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n par un+1 = f (un).
2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier n, on a : 0 < un+1 < un < 1.
Initialisation : u1 = f(u0)=f(1) =0,5.  0 < u0 < u1 < 1. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : 0 < un+1 < un < 1 est supposé vrai.
La fonction f étant strictement croissante sur ]-3 ; +oo[.
f(0) < f(un+1 )< f(un) < f(1).
0< un+2 < un+1 < f(1) < 1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; elle est vraie pour tout entier naturel.
 3. En déduire que (un) est convergente.
La suite est décroissante et bornée par zéro : donc elle converge.

Partie B
On admet que pour tout entier naturel n,un  diffère de 0. On note (vn) et (wn) les suites définies pour tout entier naturel n par :
 vn = 1 /un et wn = vn +1.
1. Vérifier que, pour tout entier naturel n, vn+1 = 1,5 vn + 0,5 .
vn+1 = 1 / un+1=(un+3) / (2 un) =0,5 +1,5 / un = 0,5 + 1,5 vn.
 2. Démontrer que (wn) est une suite géométrique dont on précisera les paramètres.
wn+1 = 1 / un+1 +1 =1/ f(un)+1=(un+3) / (2un) +1=0,5 +1,5 vn+1=1,5(vn+1)= 1,5 wn.
(wn) est une suite géométrique de premier terme w0=2 et de raison 1,5.
3. En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 1 / ( 2 *1,5n −1).
wn = 2 * 1,5n=1/un+1.
1/un=2 * 1,5n-1.
un = 1 / ( 2 *1,5n −1).
 4. Déterminer la limite de la suite (un).
Quand n tend vers +oo :
1,5n tend vers +oo ; 2 *1,5n −1 tend vers +oo ; 1 / ( 2 *1,5n −1) tend vers zéro.
5. a. Recopier et compléter le script suivant de telle sorte que la fonction seuil() renvoie le plus petit entier n tel que un soit inférieur ou égal à 10−3 .
La boucle tourne tant que un > 10-3. Chaque tour clcule un+1 = 2un / (un+3)
def seuil ()
n=0
u=1
while u >10**(-3);
n=n+1
u=2*u/(u+3)
return n.
b. Quelle est la valeur renvoyée par la fonction seuil()?
On cherche le plus petit entier n tel que un < 10-3.
1 / ( 2 *1,5n −1) < 10-3.
103 < 2 *1,5n −1 ; 1001 < 2 *1,5n  ; 500,5 < 1,5n.
La fonction ln étant croissante sur ]0 ; +oo[ :
ln(500,5) < n ln(1,5) : n > 15,3 soit 16.

Soit  f la fonction dérivable sur R définie par f(x) = (3x − 1)e −𝑥 + 2. On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
 1. Déterminer la limite de la fonction f en −∞.
3x-1 tend vers -oo ;  e-x tend  vers +oo ; par produit des limites, f(x) tend vers -oo.
2. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. Interpréter graphiquement ce résultat.
3x-1 tend vers +oo ; e-x tend vers zéro. Par produit des limites (3x-1)e-x tend vers zéro.
f(x) tend vers 2.
La droite d'équation y = 2 est asymptote horizontale à la courbe Cf.
3. On note f  ′ la fonction dérivée de f.
 a. Vérifier que, pour tout nombre réel x, f ' (x) = (4 − 3x)e −𝑥 .
On pose u = 3x-1 et v = e-x ; u '=3 ; v' = -e-x ;
u'v+v'u = 3e-x-(3x-1)e-x = (4-3x) e-x.
 b. Étudier le signe de la dérivée et en déduire le tableau de variations de la fonction f sur R.
e-x >0 ; le sogne de f '(x) est celui de (4-3x).
 f '(x) =0 si x = 4/3.
f '(x) >0 si x  < 4 /3 et f(x) est strictement croissante.
f '(x) <0 si x  > 4 /3 et f(x) est strictement décroissante.

 4. a. Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution sur R. On notera a cette solution.
Sur [4/3 ; +oo[, f est strictement positive, minorée par 2 : sur cet intervalle f(x) = 0 n'admet pas de solution.
Sur ]-oo ; 4 /3], f est dérivable donc continue ; de plus elle est strictement croissante  de -oo à 3 exp(-4/3) +2 > 0.
D'après le théorème de la bijection, l'équation f(x) = 0 admet une solution unique sur cet intervalle.
b. Donner une valeur approchée de a à 10−2 près.
La calculatrice donne -0,21 < a < -0,20.
c. En déduire le tableau de signes de la fonction f sur R.
Si x appartient à ]-oo ; a] : f(x) <0.
Si x appartient à ]a ; +oo] : f(x) >0.
d. Soit la fonction F définie sur R par : F(x) = (−3x − 2)e −x + 2x. On admet que la fonction F est une primitive de f. Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine limité par la courbe Cf , l’axe de abscisses et les droites d’équation x = 0 et x = 2.
F(2) - F(0) = (−6 − 2)e −2 + 4 +2 = -8e-2 +6 unités d'aire.
5. On admet que la droite d’équation y = 4x + 1 est la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 0. Vérifier que, pour tout réel x, (3x − 1)e −𝑥 + 2 < 4x + 1.
Etude de la convexité en calculant  la dérivée seconde  :
 f '(x) = (4-3x) e-x..
On pose u = 4-3x et v = e-x. u' = -3 ; v' = -e-x.
u'v+v'u = -3e-x-(4-3x) e-x =( -7+3x)e-x.
f "(x) <0 si x < 7 /3 : si x appartient à ]-oo ; 7 /3[,  f est concave ; la courbe Cf est en dessous de toutes ses tangentes
Sur ]-oo ; 7 /3[ (3x − 1)e −𝑥 + 2 < 4x + 1.
 Sur [ 7 /3 ; +oo[ f est décroissante
f(x) < f(7/3) ; f (7/3) < 29 /3 soit f(x) < 4x+1.


  
menu