Partie A
On considère l’équation différentielle :
(E) : 2y
′ +3y = 8 e
-1,5
t
où y est une fonction de la variable y et elle est définie et dérivable
sur [0 ; +∞[.
1. Résoudre dans
l’intervalle [0 ; +∞[ l’équation différentielle
(E
′
) : 2y
′ +3y = 0.
y'+1,5 y =0.
f(x)= A exp(-1,5x) avec A une constante réelle.
2. Soit f la
fonction dérivable sur [0 ; +∞[, définie par
f (t) = 4t e
-1,5t
.
On admet que cette fonction f est une solution de l’équation
différentielle (E).
On considère une fonction g définie et dérivable sur [0 ; +∞[.
Démontrer que : « g est solution de (E) »est équivalent à « g − f
solution de (E
′
) ».
f est solution de (E) conduit à : 2 f '+3 f =
8 e-1,5
t .
g est solution de (E) conduit à : 2g'+3g = 8 e
-1,5t.
2 f '+3 f = 2 g '+ 3 g.
2(g-f) ' +3(g-f)=0.
g-f est solution de (E').
3. En déduire toutes les
solutions de l’équation différentielle (E).
g(t) - f(t) = C e
-1,5t avec C une constante réelle.
g(t) =
C e-1,5t +f(t).
g(t) = C e-1,5t + 4t e -1,5t
.
g(t) = (C+4t) e-1,5t.
4. Déterminer
toutes les solutions de (E) qui s’annulent en 0.
g(0) = Ce
0 = C = 0.
Une seule fonction s'annule en zéro : f(t) =
4t e-1,5t.
Partie B.
Un essai clinique est réalisé auprès de plusieurs patients volontaires
afin de valider ou non
l’efficacité d’un médicament.
On demande au patient d’avaler le médicament sous la forme d’un
comprimé de 1 mg puis on
étudie la quantité de ce médicament présente dans le sang au cours du
temps.
La quantité de ce médicament en fonction du temps écoulé après la prise
du comprimé, en mg,
est modélisée par la fonction f dérivable sur [0 ; +∞[, définie par :
f (t) = 4t e
−1,5
t
, t étant exprimé en heures.
1. Déterminer la
limite de
f (t) en +oo.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Si t tend vers +oo :
e-1,5 t tend vers zéro et 4 t tend vers +oo.
Par produit des limites, f(t) tend vers zéro.
Au bout d'un temps suffisamment long, le médicament est éliminé du sang.
2. a. Vérifier en
détaillant les calculs que pour tout réel t positif, f
′
(t) = (4−6t) e
−1,5
t
.
On pose u = 4t et v = e
-1,5t ; u' = 4 ; v' = -1,5 e
-1,5t.
u'v+v'u =4 e
-1,5t -6t e
-1,5t =
(4−6t) e−1,5
t
.
b. Étudier le signe
de la dérivée et en déduire le tableau de variations de la fonction f
sur [0 ; +∞[.
Le terme en exponentielle étant positif, le signe de f ' (t) est celui de 4-6t.
Si t < 2 / 3, f '(t) >0 et f(t) est strictement croissante.
Si t > 2 / 3, f '(t) < 0 et f(t) est strictement décroissante.
Si t = 2 /3, f '(t) = 0 et f(t) présente un maximum.
c. Au bout de
combien de temps la quantité de ce médicament présente dans le sang
est-elle maximale ?
Au bout de 2 / 3 heure ou 40 minutes.
3. Démontrer que
l’équation f (t) = 0,5 admet une unique solution sur [1; 3].
Donner un encadrement de cette solution, notée
a, à 10
−2 près.
Sur cet intervalle, la fonction f est dérivable, donc continue.
Elle est strictement décroissante sur cet intervalle
f(1) = 4 e
-1,5 ~0,893 ;
f(3) = 12 e
-4,5 ~0,133.
0,5 appartient à [f(3) ; f(1)].
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(t) = 0,5 admet une solution unique
a sur [1 ; 3}.
La calculatrice donne 1,76 <
a <1,77..
4. L’essai clinique sera
validé si les deux conditions suivantes sont
vérifiées :
Condition 1 : 50 % de la quantité du médicament est éliminée de
l’organisme au
plus tard 2 heures après la prise du comprimé.
Condition 2 : la quantité moyenne du médicament présente dans le
corps du patient entre 1 heure et 3 heures après la prise du comprimé
est inférieure à 0,40 mg.
La condition 1 est-elle réalisée ?
La condition 2 est-elle réalisée ?
Condition 1 : la moitié du médicament est éliminé dès que sa quantité dans le sang est inférieure ou égale à 0,5 mg.
Sur [2 /3 ; +oo[ f est décroissante et f(
a) = f(1,77) = 0,5.
Pout t supérieure à 1,77 heures, cette condition est réalisée.
Condition 2 : calcul de la valeur moyenne de f sur [1 ; 3] en posant :
u = 4t ; v' = e
-1,5t ; u' = 4 ; v = -2/3 e
-1,5t.
Cette valeur étant supérieure à 0,40 mg, la condition 2 n'est pas respectée.
L'essai clinique n'est pas validé.
