Mathématiques. géométrie, Métropole, Réunion, 09 /2026. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . Exercice 3 4 points.  Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Les affirmations sont indépendantes. Pour toutes les questions, l’espace est muni d’un repère orthonormé. 1. Soit  3 vecteurs de l'espace  . Affirmation 1 : Les vecteurs  suivants forment  une base de l’espace. Vrai. Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires, leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Soient 2 réels a et b tels que : Les trois vecteurs n'étant pas coplanaires, ils forment une base de l'espace. 2. Soit quatre points de l’espace : A(1; 2; 3), B(2; 0; 1), C(0; 1; 2), D(0 ; 4 ; −1) On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés. Affirmation 2 : La droite (CD) est orthogonale au plan (ABC).  Vrai. Les points A, B et C n'étant pas alignés, ils forment une base du plan (ABC).. Le vecteur CD étant orthogonal à deux vecteurs constituant une base du plan (ABC) est normal au plan (ABC). La droite (CD) est orthogonale au plan (ABC). 3. Soit d une droite de l’espace dont une représentation paramétrique est :  x = 2t ; y = −2+4t ; z = −2+ t avec t réel.  Soit P1 le plan de vecteur normal n(1 ; -2 ; 3) et passant par E(1 ; 1 ; −1).  Affirmation 3 : L’intersection de la droite d et du plan P1 est le point M(2 ; 2 ; −1).  Faux. Equation du plan (ABC) : x-2y+3z+d=0. E appartient à ce plan : xE-2yE+3zE+d=0. 1-2-3+d=0 ; d = 4. x-2y+3z+4=0. xM-2yM+3zM+4=2-4-3+4=-1 diffère de zéro. M n'appartient pas au plan P1. M n'est pas le point d'intersection de d et P1. 4. Soit N(2 ; 0 ; −2) et H(1 ; −2 ; 0) deux points de l’espace. Soit P2 le plan d’équation cartésienne x +2y −2z +3 = 0. Affirmation 4 : La distance de N au plan P2 est NH.  Vrai. xH +2yH-2zH+3 =1+2*(-2)-2*0+3=0. Donc H appartient au plan P2. Ces vecteurs étant colinéaires, le vecteur NH est normal au plan P2. H est le projeté orthogonal de N sur P2. NH2 = (-1)2 +(-2)2 +22 =9 ; NH = 3. Exercice 4. 5 points. Partie A On considère les points de l’espace R(1 ; 0 ; 6), S(1 ; 3 ; 2), T(3,5 ; 7 ; 5) et A(−2,5 ; 8 ; 4,5). 1. Démontrer que les points R, S et T ne sont pas alignés. Les coordonnées de ces vecteurs n'étant pas proportionnelles, ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Les points R, S et T ne sont donc pas alignés. 2. a. Démontrer que le vecteur n  ( −10 ; 4 ; 3 ) est un vecteur normal au plan (RST). Le vecteur n est orthogonal à deux vecteurs formant une base du plan (RST), donc le vecteur n est normal au plan( RST).  b. En déduire une équation cartésienne du plan (RST). -10x +4y +3z+d=0. R appartient à ce plan : -10xR +4yR +3zR+d=0. -10+0+3*6+d=0 ; d = -8. -10x +4y +3z-8=0. 3. a. Vérifier que la point A n’appartient pas au plan (RST). -10xA +4yA +3zA-8=-25+32+13,5-8 diffère de zéro. A n'appartient pas au plan (RST). b. On note d1 la droite passant par le point A et orthogonale au plan (RST). Déterminer une représentation paramétrique de la droite d1 . Le vecteur n(-10 ; 4 ; 3) est normal au plan (RST) ; c'est un vecteur directeur de la droite d1. Représentation paramétrique de la droite d1 : x =-10t +xA = -10 t-2,5. y = 4t +yA = 4 t + 8. z = 3t+zA = 3t +4,5 avec t réel.  c. Soit le point H projeté orthogonal de A sur (RST). Vérifier que ses coordonnées sont (2,5 ; 6 ; 3). H est le point d'intersection de la droite d1 et du plan (RST). -10*2,5 +4*6+3*3-8=0. Le point de coordonnées (2,5 ; 6 ; 3) appartient au plan (RST). On cherche la solution du système suivant : 2,5 = -2,5-10t. 6=4t+8. 3=4,5+3t. t = 5 / (-10) = -0,5. Le point de coordonnées (2,5 ; 6 ; 3) appartient à la fois à d1 et au plan ( RST). Ce point est l'intersection de d1 et su plan ( RST). 4. a. Démontrer que le triangle RST est rectangle en S. b. Vérifier que le volume du tétraèdre ARST est égal à 625 / 24 cm3. On rappelle que le volume du tétraèdre est donné par la formule : 𝑉 = 1 /3 ×aire de la base×hauteur.  SR2 = 02+32+(-4)2=25 ; SR = 5.  ST2 = 2,52+42+32=31,25 ; ST = 31,25½. Aire du triangle RST : 5*31,25½ / 2 Hauteur associée AH : AH2 = 52+(-2)2+(-1,5)2 = 31,25. AH = 31,25½. Volume du tétraèdre = 5*31,25½ / 2 *31,25½ / 3 =625 / 24 unités de volume. Or l'unité graphique est le cm. 625 / 24 unités de volume = 625 / 24 cm3. . Partie B Soit M(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) un point de la droite d2 de représentation paramétrique : x = −4,5 + s ;  y = 4 − 4s ;  z = 5,5 − 2s  avec s réel 1. Démontrer que AM2 = 21s2 + 24s + 21. AM2 = (-4,5+s+2,5)2+(4-4s-8)2 +(5,5-2s-4,5)2= (s-2)2+(-4-4s)2+(1-2s)2 =s2+4-4s +16s2+16+32s+1+4s2-4s=21s2+24 s+21. 2. Déterminer les coordonnées du point M de la droite d2 pour lesquelles la distance AM est minimale. La fonction 21s2+24 s+21 admet un minimum pour s = -b /(2a) = -24 / (42)= -4 /7. M(-4,5-4 / 7 ; 4+16 / 7 ; 5,5 +8/7). M(-9/2-4/7 ; 44/7 ; 46,5 / 7). M(-71 / 14 ; 44 / 7 ; 93/14).

menu