J'ai froid aux pieds sur le carrelage, le préfère le parquet, Bac général Amérique du nord 2026.

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Alors que les températures des deux sols sont identiques, on ressent que l’un des deux est plus froid que l’autre !
Cette sensation est liée à l’effusivité des matériaux.
Selon Jean-Claude Krapez, ingénieur de recherche, auteur d’une thèse sur le sujet :
« L’effusivité d’un matériau caractérise la vitesse avec laquelle il peut échanger de l’énergie thermique avec son environnement. Lorsque son effusivité thermique est forte, un matériau absorbe rapidement de l’énergie thermique sans se réchauffer notablement en surface (cas de la pierre, de l’acier, du carrelage), et inversement lorsque son effusivité thermique est faible le matériau se réchauffe très rapidement sur la surface de contact avec une source chaude. Ce qui signifie que ce
genre de matériaux n’absorbe pas beaucoup d’énergie thermique et que cette dernière reste en
surface, comme c’est le cas pour le bois ».
La température de contact qui sera ressentie par le pied se détermine en utilisant l’effusivité des matériaux en contact.
Pour reproduire cette expérience au laboratoire afin de bien comprendre ce phénomène, on utilise un morceau de carrelage, un morceau de bois de parquet et une poche en silicone. La poche en silicone permet ainsi de simuler un pied nu car elle possède des propriétés mécaniques et thermiques similaires au dessous du pied.
1. Détermination de l’effusivité d’un matériau
Q.1. Montrer que l’effusivité s’exprime en J·K⁻¹·m⁻²·s^−1/2.
E = (l C_v)^½.
Cv = C / V avec C en J K^-1 et V en m³.
l : conductivité thermique en J K^-1 m^-1 s^-1.
E s'exprime en J·K⁻¹·m⁻²·s^−1/2.
Les conductivités thermiques l des matériaux étant données, on cherche à obtenir les capacités thermiques volumiques des matériaux à partir d’une mesure de C et de V du morceau choisi.
On choisit de déterminer C_carrelage, la capacité thermique du morceau de carrelage, par calorimétrie.
On considère que dans un calorimètre, on néglige tout travail et tout transfert thermique avec l’extérieur.
On place 720 g d’eau à 25,4 °C dans le calorimètre. On y insère le morceau de carrelage à 39,7 °C.
On relève la température finale d’équilibre thermique au bout de quelques dizaines de secondes, le temps que les transferts thermiques se fassent. On relève une température finale de 25,9 °C.
On considère le système {eau + carrelage} dans le calorimètre.
Q.2. Indiquer le sens dans lequel s’opère le transfert thermique entre le corps chaud et le corps froid.
Le transfert thermique s'effectue du corps chaud, le carrelage vers le corps froid, l'eau.
Q.3. Rappeler le premier principe de la thermodynamique et en définir tous les termes ainsi que leurs unités. Appliquer le premier principe de la thermodynamique au système dans le calorimètre.
DU = W+Q =0 (on néglige tout travail et tout transfert thermique avec l’extérieur.)
Chaque terme s'exprime en joule.
DU, variation de l'énergie interne du système eau carrelage.
Q.4. Montrer que la variation d’énergie interne de l’eau dans le calorimètre vaut 1,50×10³ J.
DU_eau = C_eau m_eau DT = 4,18 10³ x 0,720 x (25,9-25,4) =1,50 10³ J.
Q.5. En déduire que la capacité thermique du morceau de carrelage vaut C_carrelage = 109 J·K⁻¹.
DU = DU_eau + DU_carrelage =0.
DU_carrelage = -1,50 10³ J.
C_carrelage = -DU_eau / DT = -1,50 10³ / (25,9 -39,7)=109 J·K⁻¹.
Pour l’étude de la capacité thermique du carrelage, on utilise un morceau de carrelage de volume 5,50.10⁻⁵ m³.
Q.6. Calculer la valeur de la capacité thermique volumique du carrelage c_{v carrelage}.
c_{v carrelage = Ccarrelage}/ V =109 / (5,50 10^-5)=1,98 10⁶ J K^-1 m^-3.
Q.7. Montrer que l’effusivité du carrelage vaut E_carrelage = 1,60.10³ J·K⁻¹·m⁻²·s^−1/2.
E_carrelage =(l C_v)^½=(1,3 x 1,98 10⁶)^½ =1,6 10³ J·K⁻¹·m⁻²·s^−1/2.
On mesure dans les mêmes conditions d’expérience Ebois = 0,476.10³ J·K⁻¹·m⁻²·s^−1/2.
Q.8. Justifier la cohérence des valeurs d’effusivité des matériaux par rapport au texte d’introduction.
L'effusivité du bois est environ trois fois plus faible que celle du carrelage. Le bois se réchauffe plus rapidement sur la surface en contact avec le pied. La température de contact pied-bois est plus grande que la température de contact pied-carrelage.

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2. Mesure et calcul de la température de contact.
Pour mesurer la température moyenne de contact entre la poche en silicone chauffée à environ 34 °C (comme pour un pied réel) et un morceau de carrelage (ou un morceau de bois), dont on relève au préalable la température, on intercale un thermomètre entre le carrelage (ou le bois) et la
poche en silicone.
On atteint au bout de quelques secondes l’équilibre thermique et on mesure la température de contact. L’incertitude type associée à chaque mesure de température vaut 0,2 °C.
Pour calculer T_calcul.AB la température de contact thermique entre deux matériaux A et B, on utilise la relation :
T_calcul.AB= (E_A×T_A+E_B×T_B) / (E_A+E_B)
avec E_A et E_B les effusivités des matériaux A et B en contact thermique et T_A et T_B leurs températures respectives initiales en kelvin.
Dans le cas du contact silicone-bois, les températures initiales sont : q_{i silicone} = 34,1 °C et q_{i bois} = 19,6 °C, la température de contact mesurée entre le silicone et le bois notée q_mesure.SBs’établit au bout de quelques secondes à θmesure.SB = 28,3 °C.
Q.9. Exprimer la valeur de T_mesure.SB en kelvin.
T_mesure.SB = 28,3 +273.
Q.10. Calculer la valeur de la température de contact théorique notée T_calcul.SB entre la poche de silicone et le bois.
T_calcul.SB= (E_silicone×T_silicone+E_Bois×T_Bois) / (E_silicone+E_Bois)
T_calcul.SB=(0,756 10³ x(34,1 +273) +0,476 x(19,6 +273) / (0,756 10³ +0,476 10³) =302 K ou 28°C.
Dans le cas du contact silicone-carrelage, on trouve expérimentalement T_mesure.SC = 297,2 K et on calcule T_calcul.SC = 297,4 K.
Q.11. Comparer les valeurs des températures de contact mesurées T_mesure.SB et T_mesure.SC avec celles des températures de contact calculées T_calcul.SB et T_calcul.SC et conclure.
T_mesure.SB =28,3 +273 = 301,3 K ; T_calcul.SB =301,5 K.
T_mesure.SC = 297,23 K ; T_calcul.SC =297,4 K.
L'écart est de 0,2 °C, égal à l'incertitude type de mesure de la température.
Donc accord avec la formule théorique utilisée.
Q.12. Expliquer les raisons de la sensation décrite dans le titre de l’exercice.
T_calcul.SB =301,5 K ; T_calcul.SC =297,4 K.
Le pied ressent la température plus froide du carrelage par rapport au bois ; d'où la sensation de froid.
Le transfert thermique du pied vers le carrelage est plus important que celui du pied vers le bois.

3. Transfert conducto-convectif
On étudie le refroidissement à l’intérieur du pied.
Pour cela, on immerge la poche de silicone, transpercée jusqu’à son centre par un thermomètre relié à une interface d’acquisition, dans un mélange eau liquide/glace constituant ainsi un thermostat à 0 °C.
Le suivi de la température dure trois heures, les mesures sont faites toutes les 7,2 secondes.
Q.13. Préciser quel transfert thermique supplémentaire, lié à la présence d’eau liquide, apparaît dans le thermostat eau liquide/glace par rapport aux matériaux solides utilisés précédemment.
La présence d'eau liquide permet le transfert thermique par convection.
Le flux thermique entre la poche de silicone et le thermostat, dans le cas d’un transfert conductoconvectif, est donné par la loi de Newton, il s’écrit :
F = h_eau-silicone × S × (q_T - q), avec :
- h_eau-silicone : coefficient de transfert conducto-convectif entre l’eau et le silicone ; plus le coefficient de transfert conducto-convectif est grand plus le flux sera important ;
- S : surface de contact entre poche en silicone et le thermostat ;
- q : température du silicone dans la poche et q_T la température du thermostat.
Q.14. Donner l’expression du transfert thermique Q en fonction du flux thermique F pendant une durée très petite Dt.
F = Q / Dt.
Q.15. Montrer, par application du premier principe de la thermodynamique appliqué au silicone, que les variations de la température du silicone à l’intérieur de la poche peuvent être décrites par l’équation différentielle suivante :
dq /dt + 1 /t q = 1/ t q_T.

avec t le temps caractéristique de transfert tel que : t = C_silicone/ (h_eau-silicone × S)
Premier principe appliqué au système silicone : DU = W+Q.
W = 0, le système étant immobile.
Q = C_silicone Dq = F Dt.
Si Dt est très petit on peut le noté dt : dq / dt = F / C_silicone.
La loi de Newton s'crit : dq / dt =h_eau-silicone S (q_T-q) / C_silicone =(q_T-q) / t.
dq / dt +q / t = q_T / t.
La solution donnant l’évolution de la température en fonction du temps a pour forme :
q(t) = (q(0)-q_T) exp(-t / t) + q_T.
Q.16. Comparer les deux courbes suivantes et commenter.
Q.17. Déterminer la valeur du temps caractéristique t par construction graphique.
Les deux courbes se superposent assez bien : le modèle mathématique est compatible avec la réalité.

Q.18. Calculer la valeur de h_eau-silicone sachant que la poche utilisée a une capacité thermique
C_silicone = 179 J·K⁻¹ et une surface totale immergée S = 0,0172 m².
t = C_silicone / (h_eau-silicone S) ;
h_eau-silicone = C_silicone / (t S) = 179 / (1 x 10³ x 0,0172)~ 10 J s^-1 K^-1 m^-2.
Le coefficient conducto-convectif entre l’air et le silicone vaut hair-silicone = 3,51 J s^-1 K^-1 m^-2.
Q.19. Comparer les valeurs des deux coefficients conducto-convectifs et indiquer le fluide dans lequel le pied se refroidit le plus vite.
Plus le coefficient de transfert thermique est grand, plus le flux est important.
Le pied se refroidit plus vite dans l'eau que dans l'air.

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