Probabilités, Bac général
Amérique du nord 2026.
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Exercice 1. 6
points.
Une plateforme de diffusion musicale propose trois
types d’abonnements : « Étudiant », « Classique » et « Famille ». Elle
propose également une option « Écoute hors-ligne » qu’on peut activer
pour chaque type d’abonnement et qui permet de télécharger de la
musique.
Une étude statistique menée sur les abonnés a permis d’établir que :
- 25% des abonnés ont choisi l’abonnement « Étudiant » et 15% ont
choisi l’abonnement
« Famille »;
-45% des abonnés « Étudiant » ont activé l’option « Écoute
hors-ligne »;
- 30% des abonnés « Classique » ont activé l’option « Écoute hors-ligne
»;
- 12% des abonnés ont choisi l’abonnement « Famille » et ont
activé l’option « Écoute horsligne ».
On prélève au hasard le profil d’un abonné et on considère les
évènements suivants :
- E : l’abonné a choisi l’abonnement « Étudiant »;
- C : l’abonné a choisi l’abonnement « Classique »;
- F : l’abonné a choisi l’abonnement « Famille »;
- H : l’abonné a activé l’option « Écoute hors-ligne ».
Partie A
1. Recopier l’arbre de probabilités suivant, en complétant les
pointillés :
2. Calculer la
valeur exacte de P(E ∩ H).
0,25 x 0,45=0,1125.
3. Démontrer que la
probabilité qu’un abonné ait activé l’option « Écoute hors-ligne » est
de
0,412 5.
D'après la formule des probabilités totales :
P(H) = P(E n H) + P(C n H) + P(F n H) =0,1125 +0,60 x0,30 +0,12=0,4125.
4. Un abonné a
activé l’option « Écoute hors-ligne ». Déterminer la probabilité qu’il
ait choisi
l’abonnement « Étudiant ». On arrondira le résultat au millième.
PH(E) = P(H n E) / P(H) =0,1125 / 0,4512 ~0,273.
Partie B
On choisit huit abonnés de cette plateforme, au hasard et de manière
indépendante. On considère qu’il y a suffisamment d’abonnés pour que ce
choix soit assimilé à un tirage avec remise.
On rappelle que la probabilité qu’un abonné ait activé l’option «
Écoute hors-ligne » est de
0,4125.
On note X la variable aléatoire donnant le nombre d’abonnés ayant
activé l’option « Écoute
hors-ligne ».
1. On admet que la
variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
n = 8 ; p = 0,4125.
2. Calculer la
probabilité qu’aucun de ces huit abonnés n’ait activé l’option « Écoute
horsligne ». On arrondira le résultat au millième.
P(X=0)=(80)
x0,41250 x(1-0,4125)8-0~0,014
3. Dans cette
question, n est un entier naturel non nul.
On s’intéresse à un échantillon de n abonnés, qu’on assimile à un
tirage avec remise.
On note qn la probabilité qu’au moins un abonné de cet
échantillon ait activé l’option
« Écoute hors-ligne ».
a. Démontrer que,
pour tout n entier naturel non nul, qn = 1−0,5875n
.
qn = P (X >1)
= 1-P(Xn=0)=1-(n0)
x0,41250 x(1-0,4125)n-0=1-0,5875n.
b. Déterminer la
plus petite valeur de n telle que la probabilité qu’au moins un abonné
de
l’échantillon ait activé l’option « Écoute hors-ligne » soit supérieure
ou égale à 99,9%.
1- 0,5875n > 0,999.
0,001 >0,5875n.
ln(0,001) >
n ln(0,5875) ; n <
12,9875 soit n >
13.
Partie C
La plateforme propose les tarifs mensuels suivants :
• Abonnement « Étudiant » : 5 € par mois;
• Abonnement « Classique » : 10 € par mois;
• Abonnement « Famille » : 16 € par mois;
• Option « Écoute hors-ligne » : 2 € de plus par mois, quel que soit
l’abonnement choisi.
On note Y la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par
un abonné.
1. Donner les six
valeurs possibles prises par la variable aléatoire Y .
5 ; 7 ; 10 ; 12 ; 16 ; 18.
2. Dresser le
tableau décrivant la loi de probabilité de la variable aléatoire Y .
Calcul de P(F n H) :
P(F) = P(F n H) + P(F n non H) ;
0,15 = 0,12 +P(F n non H) ;
P(F n non H) =0,03.
yi
|
5
|
7
|
10
|
12
|
16
|
18
|
événement
|
E
n non H
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E
n H
|
C
n non H
|
C
n H
|
E
n H
|
E
n non H
|
P(Y
= yi)
|
0,1375
|
0,1125
|
0,42
|
0,18
|
0,03
|
0,12
|
3.
Démontrer que l’espérance mathématique de la variable aléatoire Y vaut
10,475 et interpréter ce résultat dans le contexte.
E(Y) =5 x0,1375 +7 x0,1125 +10 x0,42 +12 x0,18 +16 x0,03 +18 x0,12 =
10,475.
Sur un grand nombre d'abonnés, le tarif mensuel moyen est de 10,475 €.
4. À l’aide de la
calculatrice, donner la variance de la variable aléatoire Y , arrondie
au centième.
V(Z) = 13,70.
5. Une plateforme
vidéo propose les mêmes types d’abonnements. On note Z la variable
aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné à cette
plateforme vidéo.
On admet que l’espérance de la variable aléatoire Z vaut 9 et son
écart-type 2.
a. Calculer la
variance de la variable aléatoire Z.
V(Z) =22 =4
b. Un
responsable affirme que, si on interroge un abonné de cette plateforme
vidéo au hasard, il y a au moins 50% de chances pour que le prix de son
abonnement soit strictement
compris entre 6 et 12 euros.
Justifier cette affirmation.
L'espérance de Z est égale à 9, valeur centrale de l'intervalle ]6 ;
12[.
P ( 6 < Z <12)= P(9-3 < Z <9+3 =P(-3 < Z-9 <
3)=1-P(|Z-9| > 3).
D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P(|Z-9| >
3) < 4 /32.
P(6 <Z <12) >
5 /9 > 4,5 /9 =0,5.
Il y a au moins 50 % de chances que le prix de l'abonnement soit
strictement compris entre 6 et 12 €.
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Un
supermarché dispose d’un stock de tomates provenant de deux
fournisseurs A et B.
II a été constaté que :
• 91 % du stock de tomates est commercialisable;
• 60 % du stock de tomates provient du fournisseur A;
• parmi les tomates provenant du fournisseur A , la proportion de
tomates commercialisables est de 95 %.
On choisit au hasard une tomate dans le stock.
On désigne par :
• A l’évènement « La tomate provient du fournisseur A »;
• B l’évènement « La tomate provient du fournisseur B »;
• C l’évènement « La tomate est commercialisable ».
Pour un évènement quelconque E, on note P(E) la probabilité de E.
Partie A
1. Recopier l’arbre
ci-dessous en complétant les pointillés.
2. a. Déterminer la
probabilité que la tomate choisie soit commercialisable et provienne du
fournisseur A
P(A n C) = 0,60 x0,95=0,57.
b. Démontrer que PB
(C) = 0,85.
Formule des probabilités totales :
P(C) = P(A n C) + P(B n C)= P(A n C) + P(B) x PB(C) ;
0,91 = 0,57 +0,40 x PB(C) ; PB(C) =0,34 /
0,40 = 0,85.
c. La tomate
choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime
qu’il y a
deux fois moins de chance qu’elle provienne du fournisseur A que du
fournisseur B. A-t-il
raison ?
Pnon C(A) =P(A n non C) / P(non C) =0,60 x0,05 / (1-0,91)
=0,03 / 0,09 = 1 /3.
Pnon C(B) =P(B n non C) / P(non C) =0,40 x0,15 / (1-0,91)
=0,06 / 0,09 = 2 /3.
Le responsable a raison.
Partie B
On rappelle que 9 % des tomates du stock ne sont pas commercialisables.
1. On prend 15
tomates dans le stock au hasard et de manière indépendante. On
considère que
le stock est suffisamment important pour qu’on puisse assimiler ce
prélèvement à un tirage
aléatoire avec remise.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de tomates non
commercialisables dans cet
échantillon de 15 tomates.
a. On admet que la
variable aléatoire X suit une loi binomiale. En préciser les paramètres.
n = 15 ; p = 0,09.
b. Déterminer la
probabilité qu’exactement deux tomates soient non commercialisables.
On donnera la valeur arrondie au millième.
P(X=2)= (152)=0,092 x(1-0,09)15-2=0,250.
c. Déterminer la
probabilité qu’au plus deux tomates soient non commercialisables.
On donnera la valeur arrondie au millième.
La calculatrice donne P(X <2)=0,853.
2. On constitue désormais
un échantillon de n tomates, toujours dans les mêmes conditions,
où n désigne un entier naturel non nul.
On note Xn, la variable aléatoire égale au nombre de tomates
non commercialisables et
Fn la variable aléatoire égale à la fréquence de tomates non
commercialisables dans cet
échantillon de n tomates.
On a donc Fn =
Xn /
n
.
On admet que la variable aléatoire Xn, suit la loi binomiale
de paramètres n et 0,09.
a. Calculer
l’espérance E(Fn) et exprimer la variance V (Fn)
en fonction de n.
E(Xn) = n p =0,09 n.
Par linéarité de l'espèrance : E(Fn) = E(Xn) / n =0,09.
b. Démontrer que
P(0,04 < Fn < 0,14) > 1−
32,76 /
n
.
V(Xn) = np(1-p)=0,09 (1-0,09) n=0,0819 n.
V(Fn) = V(Xn / n) =V(Xn) / n2= 0,0816=9 n / n2=0,0819 / n.
0,04 < Fn < 0,14 ; 0,09-0,05 < Fn < 0,09+0,05.
-0,05 < Fn -0,09< 0,05.
|Fn -0,09|< 0,05.
Donc P(0,04 < Fn < 0,14)= P(|Fn -0,09|< 0,05)=1-P(|Fn -0,09|> 0,05)
D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P(|Fn -E(Fn)| > d) < V(Fn)/d2.
E(Fn) = 0,09 ; V(Fn) = 0,0819 / n ;
pour d = 0,05 : P(|Fn -0,09|> 0,05) < 0,0819 / (0,052n).
P(|Fn -0,09|> 0,05) <32,76 / n.
-P(|Fn -0,09|> 0,05) > -32,76 / n.
1-P(|Fn -0,09|> 0,05) > 1-32,76 / n.
P(0,04 < Fn < 0,14 > 1-32,76 / n
c. Le responsable des
achats prélève dans le stock un échantillon de 500 tomates. Il
s’aperçoit que 55 tomates ne sont pas commercialisables.
Est-ce conforme à ce qu’il pouvait attendre ? Justifier la réponse.
n = 500. Fréquence des tomates non commercialisable : F = 55 /500 =0,11.
1-32,76 / n = 1-32,76 / 500 = 0,9345.
P(0,04 < F500 < 0,14 )> 0,9345.
La probabilité que la fréquence des tomates non commercialisable
soit comprise entre 0,04 et 0,14 est supérieure à 93,45 %.
0,11 étant compris entre 0,04 et 0,14, le résultat est conforme.
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