Suites, Bac général Amérique du nord  2026. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... Exercice 1. 4 points. La perche-soleil est une espèce de poisson envahissante. Un plan de lutte contre la prolifération de cette espèce est mis en place et on étudie dans cet exercice deux modèles d’évolution de la population de perches-soleil dans un étang naturel. On estime que, dans cet étang, le nombre de perches-soleil s’élève à 4 000 individus au 1er janvier 2025. Partie A : étude d’un modèle discret.  Dans cette partie, on modélise le nombre de perches-soleil dans l’étang par une suite (un). Pour tout entier naturel n, un désigne le nombre de perches-soleil, exprimé en millier, dans l’étang au 1er janvier de l’année 2025+n. La suite (un) est définie par :  • u0 = 4.  • pour tout entier naturel n : un+1 = 4− 4 /un . On admet que cette suite est bien définie et qu’en particulier pour tout entier n, un > 0. 1. Calculer le nombre de perches-soleil au 1er janvier 2026 donné par ce modèle. u1 = 4-4/4=3  ( 3 milliers). 2. On note h la fonction définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par h(x) = 4− 4/ x .  a. Justifier que la fonction h est croissante sur l’intervalle ]0;+∞[. h '(x) =4/x2. h'(x) > 0; h(x) est strictement croissante. b. Démontrer que pour tout entier naturel n : 2< un+1 < un < 4. Initialisation : 2< u1 < u0 < 4. La propriété est vraie au rang zéro. Hérédité : 2< un+1 < un < 4 est supposé vrai. Par croissance de la fonction h : h(2)< h(un+1) < h(un) < h(4) 2< un+2 < un+1 < 3. Conclusion : la relation est vraie au rang zéro et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier n.  c. En déduire que la suite (un) est convergente. On note l sa limite. La suite est minorée par 2 et majorée par 4. La suite est décroissante. La suite est donc convergente. d. Justifier que l= 2. D'après le théorème du point fixe h(l) = l. 4-4/l = l ; l2-4l+4=0 ; (l-2)2=0 ; l =2. e. Ce modèle prévoit-il une élimination à long terme de l’espèce envahissante ? Ce modèle prévoit la stabilisation de la population à 2000 perches-soleil. Cette espèce ne sera pas éliminée.  3. On considère le script Python ci-dessous. a. Soit s un réel appartenant à l’intervalle ]2; 4[. Recopier et compléter ce script de sorte qu’il renvoie, après exécution, le plus petit entier n tel que un < s. def population(s) : u=4  n=0  while u >=s :  u= 4-4 /u n= n+1 return n  b. Quelle valeur renvoie la commande population(2.2)? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. u9=2,2. u10 ~2,182 < 2,2. La commande population(2.2) renvoie 10. La population de perches sera inférieure à 2200  à partir de 2025+10 = 2035. Partie B : étude d’un modèle continu On note t le temps écoulé, exprimé en année, à partir du 1erjanvier 2025. L’évolution du nombre de perches-soleil, exprimé en millier, est modélisée par la fonction p telle que :  • la fonction p est définie et dérivable sur l’intervalle [0;+∞[; • p(0) = 4;. • la fonction p est solution de l’équation différentielle (E) y ′+y = 2 où y est une fonction de la variable réelle t. 1. Donner l’ensemble des solutions de l’équation (E). 2. En déduire que l’expression de la fonction p sur l’intervalle [0;+∞[ est p(t) = 2e−t +2. Solution générale de y'+y = 0 : y = A exp(-t) avec A une constante réelle. Solution particulière de (E) : y = 2. Solution générale de (E) : y = A exp(-t) +2. y(0) = A+2 = 4 ; A = 2. y =2 exp(-t) +2.  3. Ce modèle prévoit-il une élimination à long terme de l’espèce envahissante ? Si t tend vers +oo, y tend vers 2. L'espèce n'est pas éliminée : le nombre de perches se stabilise vers 2000. . .... Partie A : étude du sens de variation d’une fonction On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 2x / (1+x2)½.  1. Résoudre l’équation f (x) = x. x = 2x / (1+x2)½ ;  1 = 2/(1+x2)½ ; 1=4 / (1+x2) ; 1+x2-4=0 ; x2 =3 ; x = ±3½.  2. a. On admet que la fonction f est dérivable sur R. Vérifier que, pour tout réel x,on a f ′ (x) = 2 / ( (1+ x 2 ) ( 1+ x 2)½). On pose u = 2x et v =  (1+x2)½. u' = 2 ; v' = x(1+x2)-½. b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur R. f '(x) étant positive, f(x) est strictement croissante sur R.  Partie B : étude de la convergence d’une suite récurrente La suite (un) est définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = f (un). 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a 1 < un < un+1 < 3½. Initialisation : u1 = f(u0) = f(1 ) =2½. 1 < u0   < un+1 < 3½. La propriété est vraie au rang  zéro. Hérédité : 1 < un < un+1 < 3½ est supposé vraie. Par croissance de la fonction f : f(1)< f(un) < f(un+1) < f(3½). 2½< un+1 < un+2 < 3½. La propriété est vraie au rang n+1. Conclusion : la relation est vraie au rang zéro et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier n.  2. En déduire que la suite (un) converge et déterminer sa limite. La suite est minorée par 2½ et majorée par 3½. La suite est croissante. La suite est donc convergente. D'après le théorème du point fixe f(l) = l. 2l / (1+l2)½ = l ; 4 l2 = l2 (1+l2).  4 = 1+l2 ; l = 3½. 3. Le but de cette question est de retrouver par une autre méthode les résultats de la question 2. de la partie B. Pour tout entier naturel n, on pose : vn =un2/(3-un2) On admet que la suite (vn) est bien définie. a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 4 dont on précisera le premier terme. v0 = u02/(3-u02)=1 / 2 = 0,5. b. En déduire une expression de vn en fonction de n puis que un = [(1,5 x4n) / (1+0,5 *4n)]½ pour tout entier naturel n. vn = 0,5 * 4n. vn =un2/(3-un2)=0,5 * 4n. c. En déduire la limite de la suite (un). Quand n tend vers +oo : 1 / 4n tend vers zéro ; un tend vers 3½. Partie C : étude de la convergence de la somme de termes Pour tout entier naturel n non nul, on pose Sn = u02 +u12 +...+un-12 . 1. Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci permette de lister les p premiers termes de la suite (Sn).  from math import* def termes(p) : u =1 S=0 L= [ ] for i in range(p) S=S+u**2 u= 2*u/sqrt(1+u**2) L.append(S)  return L Remarque : on rappelle qu’en langage Python, • la commande L= [ ] crée une liste vide; • la commande L.append (S) ajoute, à la fin de la liste L, l’élément supplémentaire S.  2. On rappelle que, pour tout entier naturel k, on a 1 < uk < 3½.  Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a n < Sn < 3n. Sn est la somme de termes compris entre 1 et 3 , donc : n *1 < Sn < 3 xn  ; n < Sn < 3n. 3. En déduire les limites respectives de Sn et de Sn /n 2 lorsque n tend vers +∞. n < Sn : par comparaison si n tend vers +oo, alors Sn tend vers +oo. n < Sn < 3n ; n / n2 < Sn / n2< 3n / n2 1 / n < Sn / n2< 3/ n . 1 /n et 3 / n tendent vers zéro si n tend vers +oo. D'après le théorème des gendarmes Sn / n2 tend vers zéro.

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