Géométrie dans l'espace, Bac général Amérique du nord 2026.

Géométrie dans l'espace, Bac général Amérique du nord 2026.

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Exercice 3. 5 points.
Dans cet exercice l’unité est le centimètre. On considère une pyramide à base carrée SABCD comme dans la figure ci-dessous.

AB = BC = CD = DA = OS = 2 cm;
I est le milieu de [CD], J le milieu de [BC] et K le milieu de [OS]. L’espace est muni du repère orthonormé .
On admet que B(−1 ; 1 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), et S(0 ; 0 ; 2).
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A 1. Donner les coordonnées des points A et D.
A(-1 ; -1 ; 0) ; D (1 ; -1 ; 0).
2. Calculer le produit scalaire suivant.

3. En déduire la mesure de l’angle BSC arrondie au dixième de degré près.
SC = (1²+1²+(-2)²)^½ =6^½.
SB = ((-1)²+1²+(-2)²)^½ =6^½.

Partie B On se propose dans cette partie de déterminer la distance du point O au plan (SBC).
1. Soit n le vecteur de coordonnées (0 ; 2 ; 1).
a. Justifier que le vecteur n est normal au plan (SBC).

Le vecteur n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (SBC). Donc ce vecteur n est normal au plan ABC.
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (SBC) est 2y + z −2 = 0.
0 x + 2 y +z +d = 0.
S(0 ; 0 ; 2) appartient à ce plan : y_S +z_S +d = 0.
2+d=0 ; d = -2.

2. On note H le projeté orthogonal du point O sur le plan (SBC).
a. Justifier qu’une représentation paramétrique de la droite (OH) est :
x=0 ; y = 2t ; z = t avec t réel.
OH est orthogonal au plan SBC ;
coordonnées d'un vecteur directeur de la droite (OH) : 0 ; 2 ; 1.
Représentation paramétrique de la droite OH :
x = x_O+0=0 ; y = y_O+2 t=2t ; z = z_O+ t=t ;

b. Calculer les coordonnées du point H.
H appartient au plan SBC : 2y_H + z_H −2 = 0.
2*2t+t-2=0 ; t=2/5.
H( 0 ; 4/5 ; 2/5).
c. En déduire que la distance du point O au plan (SBC) est égale à 2 / 5^½ cm.
OH² =(0-0)² +(4/5-0)² +(2/5-0)²= 20 /25 =4 /5 ; OH = 2 /5^½ .

Partie C.
On se propose ici de retrouver le résultat de la partie B par une autre méthode.
1. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par : V = 1 /3 × aire de la base×hauteur
a. Calculer le volume de la pyramide SABCD.
La base est un carré de côté 2 cm ; la hauteur SO = 2 cm.
Volume de la pyramide : 2²*2/3=8/3 cm³.
b. En déduire que le volume de la pyramide OCBS est égal à 2 /3 cm³ .
La base est le triangle OBC et sa hauteur est OS.
Aire du triangle OBC = aire du carré ABCD / 4 = 2 *2 /4 = 1 cm².
OS = 2 cm ;
Volume de cette pyramide : 1 *2 /3 = 2 / 3 cm³.
2. Déterminer l’aire du triangle SBC.
SB = SC = (1² +1² +(-2)²)^½ =6^½.
J est le milieu du segment [BC] ; le segment SJ est la hauteur issue de S dans le triangle SBC.
Le triangle JSB est rectangle en J ; le théorème de Pythagore donne :
SB² = SJ² +BJ².
SJ² =SB² -BJ²=6-1²=5 ; SJ = 5^½.
Aire du triangle SBC : base x hauteur / 2 = 2 x5^½ /2 = 5 ^½ cm².
3. Déduire des questions précédentes que la distance du point O au plan (SBC) est égale à 2 / 5^½ cm.
Volume de la pyramide OCBS, le triangle SBC étant la base, OH la hauteur associée.
V = 1/3 x5^½ xOH = 2 /3.
OH = 2 /5^½ = 2 / 5*5^½.

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L’espace est muni d’un repère orthonormé. On considère :
- les points A(4; 2; 2), B(5 ; −2 ; 3) et C(1; 1; 1);
- la droite D dont une représentation paramétrique est donnée par :
x = 1+2t ; y = 1+ t ; z = 1+2t avec t réel
- le plan P contenant le point A et perpendiculaire à la droite D.
1. Vérifier que la droite D contient le point C(1; 1; 1) mais pas le point A.
x_C = 1+2t = 1 ; t = 0 ; par suite y_C = 1+0=0 ; z_C =1+2*0=1.
Donc C appartient à la droite D.
x_A = 4 =1+2t ; t = 1,5 ; par suite y_A =1+1,5 = 2,5 diffère de 2.
Donc A n'appartient pas à la droite D.
2. a. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan P est 2x + y +2z −14 = 0.
Le plan P est perpendiculaire à la droite D .Equation de ce plan : 2x +y +2z +d = 0
A(4 ; 2 ; 2) appartient à ce plan : 8+2+4+d=0; d = -14.
b. Vérifier que le plan P contient le point B mais pas le point C.
2*5 +(-2) +2*3-14=0 est vérifié ; B appartient à ce plan.
2+2+2-14= -8 diffère de zéro ; C n' appartient pas à ce plan.
3. On considère le point D(3; 2; 3).
a. Démontrer que le point D est le projeté orthogonal du point C sur le plan P .

De plus 2x_D+y_D+z_D-14=2*3+2+2*3-14=0
D appartient au plan P.
b. Justifier que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
A appartient au plan P
B appartient au plan P d'après la question 2b.
D projeté orthogonal de C sur le plan P appartient au plan P
C n'appartient pas au plan P ( question 2.b.
Donc les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires..
c. Calculer le produit scalaire suivant.

d. Calculer le volume du tétraèdre ABCD. On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par V = 1 /3 ×B ×h où B est l’aire d’une base du tétraèdre et h la hauteur relative à cette base.
Le triangle ABD est rectangle en A.
Aire de ce triangle : AB xAD / 2 ;
AB ²= (5-4)² + (-2-2)²+(3-2)²=18 ; AB = 3 *2^½.
AD ²= (3-4)² + (2-2)²+(3-2)²=18 ; AD = 2^½.
AB xAD / 2 = 3x2 / 2 =3.
CD :hauteur associée à la base ABD :
CD² = 2² +1² +2² = 9 ; CD = 3.
Volume de ce tétraèdre : 3 *3 /3 = 3.
4. On appelle H le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC).
a. Vérifier que les coordonnées du point H sont ( 73 /29 ; −4 /29 ; 51 /29).

Le point H appartient donc à la droite (BC).

H appartient à la droite (BC) et les droites (BC) et (AH) sont perpendiculaires.
b. Démontrer que l’aire du triangle ABC est 3 x22^½ / 2 .
BC² = (-4)² +3²+2² =29 ; BC = 29^½.
AH² = ((-43)² +(-62)²+(-7)²) / 29² =5742 / 29² ; AH = 5742^½ / 29.
Aire du triangle ABC : AH *BC /2 = 5742^½ / 29 *29^½ /2 =(5742 /29 )^½ / 2 =198^½ / 2 =3 x22^½ / 2 .
c. En déduire la distance h du point D au plan (ABC).
Volume de la pyramide ABCD = aire du triangle ABC * h / 3.
3 = 3 x22^½ h /(2x3) ; h = 6 /22^½=3x22^½ / 11.

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