Mathématiques, probabilités, Bac Polynésie 2026

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Exercice 1 (5 points).
Une école de surf travaille avec des planches en mousse pour les cours débutants, et d’autres en résine pour les cours de perfectionnement. Les planches en mousse représentent 80 % du stock de l’école. La gérante observe qu’après chaque saison,
  75 % des planches en mousse sont en bon état et réutilisables la saison suivante. Les autres sont recyclées (et donc non réutilisables);
 60 % des planches en résine sont en bon état, les autres sont soit consolidées, soit recyclées.
Après une saison, on choisit une planche au hasard et on s’intéresse aux évènements suivants :
 M : « La planche est en mousse »;
 B : « La planche est en bon état »;
 R : « La planche sera recyclée »;
 C : « La planche sera consolidée ».
Partie A
1. Recopier et compléter sur la copie l’arbre pondéré ci-dessous avec les données de l’énoncé. Il sera complété au fur et à mesure de l’exercice.

2. On sait que P (non M ∩R) = 0,05.
a. Interpréter cette égalité dans le contexte de l’exercice.
La probabilité que la planche choisie soit en résine et soit recyclée est égale à 0,05.
Parmi les planches en résines, 5 % sont recyclées.
 b. On a choisi une planche en résine. Démontrer que la probabilité que cette planche soit consolidée pour la saison suivante est 0,15.
P non M (B) + Pnon M(R) + Pnon M(C) = 1.
0,6+0,25+Pnon M(C) = 1.
Pnon M(C) =0,15.
3. La gérante affirme qu’après une saison, au moins 3 /4 des planches sont en bon état. A-t-elle raison ?
Formule ds probabilités totales : P(B) = P(M n B) + P(non M n B) = 0,6+0,12=0,72 < 0,75. La gérante a tord.

 Partie B.
 La gérante du club de surf envisage de proposer à certains clients une remise pour la saison suivante. Pour cela, elle imagine le jeu suivant qui sera proposé à chaque client :
 Une urne contient 5 boules noires et un nombre n de boules rouges. Les boules sont indiscernables au toucher. Le client tire simultanément deux boules dans l’urne. Si les deux boules sont de même couleur, le client gagne une remise, sinon, il perd le jeu et n’obtient pas de remise.
1. Justifier que la probabilité p de gagner une remise est : p =[ (52) +(n2) ] / (n+5 2).
Nombre de façons de tirer simultanément 2 boules parmi n+5 est : (n+5 2).
Nombre de façons de tirer simultanément  2 boules noires parmi 5 noires est : (5 2).
Probabilité de tirer 2 boules noires : (5 2) / (n+5 2).
Nombre de façons de tirer simultanément  2 boules rouges parmi n rouges est : (n 2).
Probabilité de tirer 2 boules rouges : (n 2) / (n+5 2).
Les événements tirer 2 boules noires et tirer 2 boules rouges  sont disjoints :
p = [ (52) +(n2) ] / (n+5 2).
2. En déduire que la probabilité p peut s’écrire : p = (20+n(n −1) / ((n +5)(n +4)) .
p(5 2) = 5 ! / (3 ! * 2 != 5*4 /2=10.
p(n 2)= n! / ((n-2)! *2!)= n *(n-1) / 2.
 (n+5 2) = (n+5)! / ((n+3)! * 2!)=(n+5)(n+4) / 2.
p = (10 + n(n-1) /2 ) / ((n+5)(n+4) / 2)=(20+n(n-1)) / ((n+5)(n+4)).
 3. La gérante souhaite s’assurer que la probabilité de gagner est inférieure à 0,5. . Déterminer pour cela l’ensemble des valeurs possibles du nombre n de boules rouges qu’elle peut mettre dans l’urne.
(20+n(n-1)) / ((n+5)(n+4)) < 0,5.
(20+n(n-1)) / ((n+5)(n+4)) - 0,5 < 0.
(20+n(n-1))-0,5 ((n+5)(n+4)) < 0.
20+n2-n-0,5(n2+9n+20) < 0.
0,5 n2-5,5 n+10 < 0.
n2-11 n+20 < 0.
Racines de ce trinôme : D =(-11)2 -4*20) = 41.
n1 = (11-41½) / 2 ~2,3 ; n2 = (11+41½) / 2~8,7.
Ce trinôme est positif entre les racines.
Elle peut donc mettre 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 boules rouges.

Partie ADans une académie donnée, la population est constituée d’élèves de terminale ayant choisi la spécialité mathématiques. On souhaite analyser leurs choix d’orientation, notamment vers les études supérieures en ingénierie. Les répartitions sont les suivantes :
 40 % sont des filles; 60 % sont des garçons;
 parmi les filles, 33,75 % envisagent des études d’ingénieur;
 parmi les garçons, 54,25 % envisagent des études d’ingénieur.
 On interroge uniformément au hasard un élève de terminale ayant choisi la spécialité mathématiques de cette académie et on considère les évènements suivants :
 𝐹 : « L’élève est une fille »;
 𝐼 : « L’élève envisage des études d’ingénieur ».
 1. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que l’élève choisi au hasard soit une fille envisageant des études d’ingénieur.
3. Démontrer que la probabilité que l’élève choisi au hasard envisage des études d’ingénieur est égale à 0,4605.
Formule des probabilités totales : 0,135+0,3255=0,4605.
 4. L’élève interrogé envisage des études d’ingénieur. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’une fille ? Donner une valeur approchée du résultat à 10−3 près.
PI(F) = P(I n F) / P(I) = 0,135 / 0,4605 ~0,293.
Partie B
Dans cette partie, on considère un entier naturel n non nul. On interroge uniformément au hasard dans cette académie n filles en terminale, qu’elles suivent ou non la spécialité mathématiques. On suppose que ce nombre de filles est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à des tirages indépendants avec remise. On note X la variable aléatoire qui modélise le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure qu’elle suive ou non la spécialité mathématiques. On admet que la probabilité qu’une fille souhaite devenir ingénieure est égale à 0,15.
1. a. Justifier que 𝑋 suit une loi binomiale.
n est suffisamment grand : la probabilité qu'une fille choisie ait choisi des études d'ingénieur est p = 0,15.
X suit la loi binomiale  de paramètres n et p = 0,15.
b. Exprimer en fonction de n l’espérance de X.
X = np = 0,15 n.
2. En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit nombre de lycéennes qu’il faut interroger pour que la probabilité de l’évènement « Au moins une fille parmi celles interrogées souhaite devenir ingénieure »soit supérieure ou égale à 0,99.
P(X >1)=1-P(X=0) = 1-(n0) x0,150 x(1-0,15)n-0= 1-0,85n.
1-0,85n> 0,99.
0,01 > 0,85n.
ln (0,01) > n ln(0,85) ; n > 28,3 soit 29.
3. Dans cette question, on choisit un échantillon de 𝑛 = 29 filles. Déterminer la probabilité qu’au moins le quart des filles interrogées souhaite devenir ingénieure. Donner une valeur approchée du résultat à 10−3 près.
29 / 4 = 7,25. Il faut choisir 8 filles sur 29 souhaitant devenir ingénieur.
P(X > 8) =1-P(X < 8)= 1- P(X < 7) =0,059 d'après la calculatrice.

Partie C
On s’intéresse à dix académies françaises de tailles comparables numérotées de 1 à 10. On considère X1la variable aléatoire qui, à un échantillon de 1 500 lycéennes de l’académie n° 1, associe le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure. On définit de la même façon les variables aléatoires X2 ,…,X10 pour les académies 2 à 10. On admet que les variables aléatoires X1 ,X2 ,…,𝑋10 sont indépendantes entre elles et qu’elles admettent la même espérance égale à 225 et la même variance égale à 191,25.
 On considère la variable aléatoire S = X1 + X2 +⋯ + X10.
1. Que représente la variable aléatoire S pour les 15 000 lycéennes interrogées sur l’ensemble des dix académies ?
S représente le nombre de filles souhaitant devenir ingénieure parmi 15000 lycéennes.
2. Calculer l’espérance et la variance de S.
Linéarité de l'espérance : E(S) = E(X1) +... E(X10) =10 E(X) = 10 x225=2250.
Variance V (S)=10 V(X)=10 *191,25 = 1912,5.
3. On considère l’ensemble des 15 000 lycéennes formé par les échantillons issus des dix académies. Argumenter pour dire si l’affirmation suivante est vraie, fausse ou si on ne peut pas savoir : « La probabilité que le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure soit strictement compris entre 2 000 et 2 500 est supérieure à 0,95.
 P(2000 < S < 2500)= P(-250 < S-E(S) < 250)=P(|S-E(S)|< 250.
 P(2000 < S < 2500)=1-P(|S-E(S)|> 250.
P(2000 < S < 2500)> 1-V(S) / 2502.
P(2000 < S < 2500)> 1-1912,5 / 62500.
P(2000 < S < 2500)> 1-0,0306.
P(2000 < S < 2500)>0,9694 > 0,95.
L'affirmation est donc vraie.

  
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