Mathématiques, fonctions, suites, Bac Polynésie 2026

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Exercice 2 (5 points).
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.
 1. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = (x +1)e−x .
 Affirmation 1 : La limite de la fonction f en +∞ est +∞. Faux.
En +oo : e-x tend vers zéro et 1+x tend vers +oo.
Par produit des limites, f(x) tend vers zéro.

 2. On considère la fonction g définie sur R par g(x) = xe x .
 Affirmation 2 : La fonction g est convexe sur l’intervalle [−2 ; +∞[.  Vrai.
Calcul de g '(x) en posant u = x et v = ex ; u' = 1 ; v' = ex.
u'v+v'u = ex+xex = ex(1+x).
Calcul de g "(x) en posant u = 1+x et v =ex ; u' =1 ; v' = ex.
u'v+v'u = ex +(1+x)ex = (2+x) ex.
Sur l’intervalle [−2 ; +∞[, g "(x) >0 : la fonction est convexe sur cet intervalle.

3. Affirmation 3 : Une intégration par parties permet d’obtenir : Faux.
On pose u = x et v'= sin(x) ; u' = 1 ; v = -cos(x).


. 4. On considère l’équation différentielle (E) : y ′ = 2y − 5 et la fonction h définie sur R par h(x) = − 1,5 e 2x + 2,5
 Affirmation 4 : La fonction h est la solution de (E) qui vaut 1 en 0. Vrai.
h(0) = -1,5+2,5 = 1.
h '(x) = -3e2x.
Repport dans (E) : -3e2x= -3e2x +5-5 =-3e2x est vérifié.
5. On considère la fonction mystere définie ci-dessous en Python :
def mystere(n)
f = 1
for k in range (1, n+1) :
f = f*k
return f
Affirmation 5 : Le nombre renvoyé lors de l’exécution de mystere(5) est 120. Vrai.
n
 1
 2
 3
 4
 5
f
 1*1=1
 1*2=2
 2*3 =6
 6*4 = 24
 24*5=120

Exercice 3. 5 points.
On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par : f (x) = ln(3x 2 +1).
 On admet que la fonction f est croissante sur [0 ;+∞[.
Partie A On considère la suite (un) définie par : u0 = 2 et pour tout entier n > 0, un+1 = ln( 3un2 +1 ) .
1. Calculer u1.
u1 = ln(3*22+1) = ln(13).
2. La suite (un) est représentée ci-dessous. Émettre des conjectures sur le sens de variation et la convergence de la suite (un).

La suite est croissante  ; elle converge vers une limite inférieure à 4.
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : 2 < un < un+1 < 4.
Initialisation :  2 < u0 < u1 < 4. La propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : 2 < un < un+1 < 4 est supposé vrai.
22 < un2 < un+12 < 42. La fonction carré est strictement croissante sur R.
3*22 < 3un2 < 3un+12 < 3*42.
3*22+1 < 3un2+1 < 3un+12 +1< 3*42+1.
13 < 3un2+1 < 3un+12 +1< 49.
ln(13) < ln(3un2+1) < ln(3un+12 +1)< ln(49) ; car la fonction ln est strictement croissante sur R*+.
La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel.
4. En déduire que la suite (un) est convergente.
La suite est croissante et majorée, donc elle converge.

Partie
 On note l la limite de la suite (u ). Le but de cette partie est de trouver une valeur approchée de la limite l. On considère la fonction g définie et dérivable sur [0 ; +∞[ par : g(x) = ln(3x 2 +1)− x.
1. On note g ′ la fonction dérivée de la fonction g.
 Démontrer que pour tout réel x appartenant à  [0 ; +∞[, g ′ (x) = (−3x 2 +6x −1) / ( 3x 2 +1)
g'(x ) = 6x / (3x2+1) - 1 =( 6x-(3x2+1)) / (3x2+1)= (−3x 2 +6x −1) / ( 3x 2 +1)
 2. Démontrer que la fonction g est strictement décroissante sur [2 ; 4].
3x2+1 étant positif, le signe de g'(x) est celui de −3x 2 +6x −1.
Etude du signe de ce trinôme :
D = 62-4*3*1=24.
x1 =(-6-24½) / (-6) = 1+24½ / 6~1,82.
x2 =(-6+24½) / (-6) = 1-24½ / 6~0,18.
Ce trinôme  est du signe de -a entre les racines.
Ce trinôme est positif si x appartient à : ]0,18 ; 1,82[.
Ce trinôme est négatif si x appartient à : [2 ; 4].
g'(x) est négative sur [2 ; 4] ; g(x) est strictement décroissante sur cet intervalle.
3. Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution a sur [2 ; 4] et en donner une valeur approchée à 10−2 près.
g(2) ~0,56 > 0.
g(4) ~-0,11  <0.
g est strictement décroisante sur cet intervalle.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x) = 0 admet une solution unique sur [2 ; 4]. La calculatrice donne a ~ 3,78.
4. Justifier que l = a.
 l est solution de l'équation f(l) = l.
On a démontré précédemment que 2 < l < 4 ; l est solution de g(x) = 0 appartenant à [2 ; 4].
Donc  l = a.

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.
 Partie A
On considère la fonction f définie pour tout x appartenant à [4 ; 10] par f(x) = ln(8𝑥3 − 1). On admet que la fonction f est dérivable sur [4 ; 10] et on note f ′ sa fonction dérivée.
1. Montrer que : f ′ (x) = 24x2 / ((2𝑥 − 1)(4𝑥2 + 2𝑥 + 1))
On pose u = 8x3-1 ; u'=24x2.
f '(x) = u' / u =  24x2 / (8𝑥3 − 1).
De plus 8x3-1 = (2x-1)(ax2+bx+c)=2ax3+2bx2+2cx-ax2-bx-c=2ax3+(2b-a)x2+(2c-b)x-c.
On identifie a = 4 ; 2b-a=0 ; b = ½a = 2 ;
2c-b=0 ; c = ½b = 1.
2. a. En déduire que f est croissante sur [4 ; 10].
24x2 >0 ; 4𝑥2 + 2𝑥 + 1>0 sur [4 ; 10] ; 2x-1>0 sur [4 ; 10].
f '(x) >0 sur [4 ; 10] ; f(x) est croissante sur cet intervalle.
b. Montrer que, pour tout 𝑥 ∈ [4 ; 10], on a : 4 < f(x) < 10.
f(4) = ln(8*43-1)~6,23 ; f(10) = ln(8*103-1)~8,98 ;
De plus f(x) est croissante : 4 < f(x) < 10.
3. On définit la fonction g définie pour tout x apprtenant à  [4 ; 10] par g(x) =f(x)-x. On admet que g est strictement décroissante sur son ensemble de définition.
a. Montrer que, sur l’intervalle [4 ; 10], l’équation g(x) = 0 admet une unique solution a.
g est continue car dérivable sur cet intervalle.
g est strictement décroissante.
0 est une valeur comprise entre : g(4) =f(4)-4~2,23 ; g(1~0) =f(10)-10~1,02.
D'après le corollaire  du théorème sur les valeurs intermédiaires, il existe un unique réel a appartenant à [4 ; 10] tel que g(a) = 0.
b. Déterminer un encadrement à 10−3 près de a.
La calculatrice donne : 8,499 < a < 8,500.

Partie B
On admet qu’on peut définir la suite (un) par u0 = 5 et pour tout entier naturel n, par un+1=f(un), où f est la fonction étudiée à la partie A.
1. Donner une valeur approchée de 𝑢1 à 10−1 près.
 u1 = f(u0)=f(5)=ln(8*53 − 1)~ 6,91.
2. a. Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout n entier naturel, on a : 4 < un < un+1 <10.
Initialisation : 4 < u0 < u1 <10. La propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : 4 < un < un+1 <10 est supposé vrai.
 f étant croissante sur l'intervalle [4 ; 10] : f(4) < f(un) <f( un+1 )<f(10).
Or f(4) >4 et f(10) < 10 : 4 < un+1 < un+2 <10.
La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel n.
 b. En déduire que la suite (un) converge.
La suite est croissante et majorée par 10 : donc elle converge vers une limite l < 10..
 3. Montrer que la suite (un) converge vers le nombre a, défini dans la partie A.
f(l) = l ; f(l) - l  =0 ; g(l) =0 c'est à dire l = a.

Partie C
Dans cette partie, on admet que 8,4 < a < 8,5. On a créé, en langage Python, la fonction alpha suivante. On précise qu’en langage Python, l’instruction log correspond à ln.
def f(x)
return log(8*x**3-1)
def alpha(a):
n=0
u=5
while u < a :
u=f(u)
n=n+1
return n
1. On admet que alpha(8.499) renvoie la valeur 11. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
A partir du rang n=11, un > 8,499
2. Un utilisateur exécute alpha(8.6). Expliquer pourquoi aucune valeur n’est alors renvoyée.
un < 8,6 : l'algorithme ne trouvera pas de rang tel que un > 8,6.

QCM.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. On considère la fonction f définie pour tout x réel par f(x) = x exp (x2 ) .
Affirmation 1 : f est concave sur ] −∞ ; 0]. Vrai.
Calcul de f '(x) en posant u = x et v = exp(x2) ; u' = 1 ; v' = 2x exp(x2).
f '(x) = (1+2x2) exp(x2).
Calcul de f "(x) en posant u = 1+2x2 et v = exp(x2) ; u' = 4x ; v' =2x exp(x2).
f "(x) = (6x+4x3) exp(x2)= 2x(3+2x2)exp(x2).
2 x < 0 ; 3+2x2 >0 ; exp(x2).>0..
f "(x) est négative sur ]-oo ; 0] : la fonction f est concave sur cet intervalle.


2. Un refuge spécialisé accueille 24 rapaces numérotés de 1 à 24. Le refuge travaille avec trois vétérinaires. Afin d’administrer un soin à tous les oiseaux, le directeur veut donc former trois groupes, numérotés de 1 à 3, constitués chacun de 8 rapaces.
Affirmation 2 : Le nombre de façons de répartir les rapaces dans les groupes 1 à 3 est : 24! /(8!)3 . Vrai.
Groupe 1 : on peut former (24 8) ensembles de 8 rapaces.
Groupe 2 : on peut former (16 8) ensembles de 8 rapaces.
Groupe 3 : on peut former (8 8) ensembles de 8 rapaces.
Il y a  (24 8) x(16 8) x(8 8) façons différentes de répartir les rapaces.
24 ! / (8!(24-8)!) x 16 ! / (8! (16-8)!) x 1= 24 !/(8!*16!) * 16!/(8!*8!)=24!/(8!)3.

3. Soit f une fonction définie et dérivable sur R, solution de l’équation différentielle : y ′ = −y + 1 sur R.
Affirmation 3 : La fonction g définie pour tout x réel par g(x) = f(x) − 1 vérifie g ′ = −g.  Vrai.
f étant solution de l'équation différentielle : f '(x) = -f (x)+1.
D'autre part : g (x)= f(x)-1 soit f '(x) = g'(x).
g'(x) = -f(x) +1= -g(x)-1+1= -(g(x).

4. La suite (un) est définie pour tout entier naturel n non nul par : un = sin(n) /n .
Affirmation 4 : La suite (un) n’admet pas de limite. Faux.
-1 < sin(n) < 1.
-1 / n < sin(n) / n < 1/ n.
En +oo : 1/n et -1/n tendent vers zéro.D'après le théorème des gendarmes, sin(n) / n converge vers zéro.

5. On a tracé ci-dessous la parabole d’équation y = −x2 + 4x + 1 et la droite d’équation y = x + 1.

Affirmation 5 : L’aire du domaine grisé est égale à 6,5 unités d’aire. Faux.
Primitive de y : Y = -x3 /3 +2x2  +x+ Cste.
Aire du domaine compris entre la courbe rouge, la droite d'équation y =0 et les droites d'équation x=0 et x = 3 :
Y(3)-Y(0) = -33/3+2*32+3= -9+18+3=12
Aire du trapèze AOBC : (1+4)*3 / 2 = 7,5.
12-7,5 = 4,5 unités d'aire.

  
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