Mathématiques, géométrie, Bac Polynésie 2026 En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . L’espace est muni d’un repère orthonormé . On considère les points A(1 ;2 ; −1), B(0 ;3 ; 2), C(−2 ;4 ; 0) et D(8 ;2 ; −11). 1. a. Démontrer que les points A, B et C définissent un plan. Ces vecteurs n'étant pas colinéaires, les points A, B et C ne sont pas alignés ; ils définissent un plan.  b. Démontrer que le vecteur n(5 ; 8 ; -1) est un vecteur normal au plan (ABC). Le vecteur n est orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (ABC) ; n est un vecteur normal au plan (ABC). c. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est 5x +8y − z −22 = 0. 5x+8y-z+d = 0. A(1 ; 2 ; -1) appartient à ce plan : 5*1+8*2-1*(-1)+d = 0 ; d = -22.  d. Vérifier que le point D n’appartient pas au plan (ABC). 5*8+8*2-(-11) -22 = 40+16+11-22=45 diffère de zéro. Donc le point D n'appartient pas au plan (ABC). 2. a. On considère la droite D, orthogonale au plan (ABC) et passant par D. Justifier qu’une représentation paramétrique de la droite D est :  x = 8+5t ; y = 2+8t ; z = −11− t , avec t réel. Coordonnées d'un vecteur directeur de la doite (D) : (5 ; 8 ; -1). D(8 ; 2 ; -11) appartient à cette droite : x = 5t+8 ; y = 2+8t ; z = -11-t avec t réel. b. On appelle E le point d’intersection de la droite D et du plan (ABC). Démontrer que le point E a pour coordonnées ( 11/ 2 ; −2 ; − 21/ 2) . E appartient au plan (ABC) : 5xE +8yE − zE −22 = 0. E appartient à la droite D : xE = 8+5t ; yE = 2+8t ; zE = -11-t. 5(8+5t)+8(2+8t)-(-11-t) -22 =40+25t+16+64t+11+t-22=45+90t=0 ; t = -0,5. xE = 5*(-0,5) +8 = 5,5 = 11 /2 ; yE = 2+8*(-0,5) = -2. zE = -11+0,5 = -10,5 = -21/2. c. En déduire la valeur exacte de la longueur DE, distance du point D au plan (ABC). DE2 =(11 /2-8)2+(-2-2)2+ (-21 /2-(-11))2= 25/4 +16+1/4=90 / 4 ; DE = 90½ / 2 =3*10½ / 2.. 3. On note H le point de coordonnées ( − 2 /3 ; 10/ 3 ; 4 /3 ) . On admet qu’une représentation paramétrique de la droite (BC) est : x =-2k ; y = 3+k ; z = 2-2k avec k réel. Avec un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats suivants : Entrée 1 :(−2/3−1)∗(−2)+(10/3−2)∗1+(4/3−(−1))∗ (−2) Sortie 1 : → 0 Entrée 2 : RésoudreSystème(−2k = −2/3, 3 + k = 10/3, 2−2k = 4/3)  Sortie 2 : → k = 1/3  Entrée 3 : RacineCarrée¡ (−2/3 − 1)2 + (10/3 − 2)2 + (4/3+1)2  Sortie 3 : → RacineCarrée(10) Entrée 4 : RacineCarrée¡ (−2−0)2 +(4−3)2 +(0−2)2  Sortie 4 : → 3  a. En utilisant les deux premiers résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, justifier que le point H est le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC). Le premier résultat signifie que le produit scalaire ci-dessus est nul et que les deux vecteurs sont perpendiculaires. b. En exploitant les autres résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, déterminer le volume du tétraèdre ABCD. On rappelle que le volume V d’un tétraèdre est donné par V = 1 /3 ×B ×h, où B est l’aire d’une base du tétraèdre et h la hauteur relative à cette base. Le second résultat indique que le système (-2k = -2/3 ; 3+k = 10 /3 ; 2-2k=4/3) admet une solution unique k = 1/3. Donc H appartient à la droite (BC) Ces deux premiers résultats indique que H est le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC). Hauteur h = DE= 3*10½ / 2. Aire de la base, triangle ABC : AH*BC /2. Le troisième résultat donne AH = 10½. Le quatrième résultat donne BC = 3. AH*BC/2 = 3*10½ / 2. Volume du tétraèdre ABCD : 3*10½ /2 * 3*10½ / 2 *1/3 = 15 /2. Dans l’espace muni d’un repère orthonormal , on considère les points : A(−1 ; 1 ; 1), B(1 ; −6 ; −1) et C(−5 ; 2 ; 3). 1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. Les coordonnées de ces vecteurs n'étant pas proportionnelles, les vecteurs ne sont pas colinéaires. Les points A, B et ne sont pas alignés ; ils définissent un plan. b. Démontrer que le vecteur 𝑛(6 ; -2 ; 13) est normal au plan (ABC). Le vecteur n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) ; c'est un vecteur normal à ce plan.  c. En déduire que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne : 6𝑥 − 2𝑦 + 13𝑧 − 5 = 0. 6x-2y+13z +d = 0 A(-1 ; 1 ; 1) appartient à ce plan : 6*(-1) -2*1+13*1+d= 0 ; d = -5. 2. On considère le plan (𝑃) d’équation cartésienne 8𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 + 18 = 0. On admet que deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux. Démontrer que les plans (ABC) et (𝑃) sont perpendiculaires. Coordonnées d'un vecteur normal au plan (P) : u (8 ; -2 ; -4). Les vecteurs normaux aux deux plans sont orthogonaux. Donc les deux plans sont orthogonaux. 3. Soit (𝑑) une droite dont une représentation paramétrique est : x=-4+t ; y = -11+6t ; z=2-t avec t réel. Démontrer que la droite (d) intersecte le plan (ABC) en un unique point qu’on nommera E, et qui a pour coordonnées E(−3 ; −5 ; 1). Il existe un point dont les coordonnées vérifient l'équation du plan (ABC) et les équations paramétriques de la droite (d) : x= -4+t ; y = -11+6t ; z = 2-t. 6x-2y+13z -5=0. 6(-4+t) -2(-11+6t) +13(2-t) -5 = 0. -24+6t+22-12t+26-13t-5=0 19-19t=0 ; t =1. E( -4+1=-3 ; -11+6=-5 ; 2-1=1). 4. Soit H(−2 ; 1 ; 0). a. Montrer que H est le projeté orthogonal de A sur (d). H appartient à (d) : -2=-4+t ; t = 2. H(2 ; -11+6*2=1 ; 2-2=0). La droite (AH) est perpendiculaire à la droite (d) H est le projeté orthogonal de A sur la droite (d).  b. En déduire la distance du point A à la droite (𝑑). AH2 = (-1)2+02+(-1)2 = 2 ; AH = 2½. c. Montrer que le triangle AHE est rectangle et que son aire est égale à 19½ unités d’aire. AH est perpendiculaire à (d) et H et E sont deux points de (d) Le triangle AHE est donc rectangle en H. Aire de ce triangle : AH x HE / 2 . HE2 = (-3+2)2 + (-5-1)2 + (1-0)2 = 38. HE = 38½. Aire = 2½*38½ / 2 = 76½ / 2 =2*19½ / 2 = 19½ unités d'aire.

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