Epreuve anticipée de mathématiques, Spécialité.
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QCM. 6 points.
1. Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements. On donne l’arbre de probabilités ci-dessous : On peut alors affirmer que P(non A∩ 𝐵) est égale à :


 Réponse B.

 2. Dans un lycée, 150 élèves de première générale suivent la spécialité Mathématiques ce qui représente 3 /5 de l’ensemble des élèves de première générale. Le nombre d’élèves en première générale dans ce lycée est :
150 x5 /3 =250.
Réponse C.

3. On considère les nombres A = 1 /3 et B = 5 /6 . Le nombre A / B +1 est égal à :
A / B =1 /3 x 6 / 5 = 6 /(3 x5) =2/ 5 ; 2 /5 +1 = (2+5) / 5 = 7 / 5.
Réponse A .

4.  Dans un repère orthonormé la droite d d’équation réduite 𝑦 = 1/ 3 𝑥 + 1 est représentée par :.

Réponse C.

5. La forme développée de (𝑥 3 − 1) 2 est :
x6+1-2x3.
Réponse B.

6. L’évolution globale correspondant à une hausse de 20 % puis une baisse de 50 %, est une baisse de :
Prix initial : 100.
Après la hausse : 120.
Après la baisse : 120 x0,5 = 60.
Soit une baisse de 40 %.
 Réponse C..

7. Ce tableau donne les résultats partiels d’un sondage dans une classe de première comptant 25 élèves :

 16 ans ou moins
 Plus de 16 ans
Suivent la spécialité mathématiques
 8
 6
Ne suivent pas la spécialité mathématiques 7
 4
On interroge un élève de cette classe au hasard. La probabilité que ce soit un élève qui suive la spécialité Mathématiques sachant qu’il est âgé de plus de 16 ans est : 6 /10 = 3 /5.
Réponse D.
8. Soient 𝑥 et 𝑦 deux réels strictement positifs tels que : 𝑥 = 5/ ( 2+𝑦). On peut affirmer que :
 x(2+y) = 5 ; 2x +xy = 5 ; xy = 5-2x ; y = (5-2x) / x = 5 / x-2.
Réponse D.

Exercice 1 5 points).
  Un maire souhaite végétaliser sa ville. Pour cela, il décide de planter des mûriers platanes dans les différents parcs. Ces arbres sont réputés pour leurs qualités d’ombrage et de résistance à la sécheresse.
Partie A
Au moment de la plantation, un mûrier platane mesure 1 mètre. On suppose que chaque année la hauteur de l’arbre augmente de 40 cm. Pour tout entier naturel n, on note un la hauteur de l’arbre, en mètres, n années après sa plantation. Ainsi u0 = 1.
a. Calculer 𝑢1.
u1 = 1+0,4 = 1,4 m.
b. Quelle sera la hauteur de l’arbre deux années après sa plantation ?
u2=u1+0,4 = 1,8 m.
2) Quelle est la nature de la suite (un) ? Justifier.
Suite arithmétique de raison 0,4 et de premier terme u0 = 1.
 3) Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n.
un = u0 +0,4 n = 1 +0,4 n.
 4) Au bout de combien d’années le mûrier atteindra-t-il 9 mètres de haut ?
9 = 1+0,4 n ; 8 =0,4 n ; n = 8 /0,4 = 20 ans.
Partie B.
Au moment de la plantation, l’arbre possède un tronc et deux branches. Un an après la plantation, on observe 4 nouvelles branches. Deux ans après la plantation, on observe 8 nouvelles branches. Chaque année, le nombre de nouvelles branches double.
Pour tout entier naturel n, on note vn le nombre de nouvelles branches n années après la plantation. À la plantation, l’arbre possède 2 branches, ainsi on pose 𝑣0 = 2
 1) Quelle est la nature de la suite (𝑣𝑛) ? Justifier.
v1 = 2 v0 , v2 = 2 v1= 22 v0.
vn = v0 * 2n. Suite géométrique de raison 2 et de premier terme 2.
2) a. Un an après la plantation, l’arbre a produit 4 nouvelles branches. Il possède alors un nombre total de branches égal à 6. Montrer que, trois ans après sa plantation, l’arbre possède un nombre total de branches égal à 30.
v0+v1 +v2 +v3 =2+4 +8 +16= 30.
b. On donne le programme ci-contre écrit en langage Python.
v=2
total =2
for i in range(10) ; v = 2*v
total = total+v
print (total)
La valeur affichée par ce programme est 4 094. Dans le contexte de l’exercice, que représente la valeur 4 094 affichée par ce programme ?
v représente le nombre de nouvelle branches produites en une année.
total représente le nombre total de branches de l'arbre.
La boucle est répétée 10 fois.
4094 représente le nombre total de branches de l'arbre 10 ans après sa plantation.

Exercice 2 (3 points).
  On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé. On considère les points A(−1; 5), B(3; 5) et C(4; 0).
a. Calculer les coordonnées des vecteurs suivants.
 .b. En déduire la valeur du produit scalaire suivant.

 2) a. Montrer que AC = 5x2½..
AC2 = 52+(-5)2=25+25=50 = 25 x2; AC =5x2½.

On admet que AB = 4.
b. Écrire  une autre expression de  produit scalaire et en  déduire une mesure, en radian, de l’angle 𝐵𝐴𝐶 ̂.

Cet angle mesure p /4 rad.

Exercice 3 (6 points).
 Soit f une fonction définie sur ]0; +∞[. On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe 𝐶𝑓 représentative de la fonction 𝑓 et la droite 𝑇𝐴 tangente à la courbe 𝐶𝑓 au point 𝐴 de coordonnées (1 ; 20). La droite 𝑇𝐴 passe par le point 𝐵 de coordonnées (3 ; 10).

1) a. Donner f(1).
f(1) = 20.
 b. Déterminer la valeur de f '(1).
Coefficient directeur de la tangente en A à la courbe : -10 /2 = -5.

c. Justifier que l’équation réduite de la tangente TA à Cf au point 𝐴 est : y = -5x + 25.
y = -5x + B ; 0 = -5 *5 +B ; B =25.

Pour la suite de l’exercice, la fonction f est définie sur ]0; +∞[ par f(x) = (4𝑥 2+7𝑥+9 ) /𝑥 . On admet que f est dérivable sur cet intervalle.
2) a. Démontrer que pour tout 𝑥 ∈ ]0; +∞[, on a f ′ (𝑥) = (2𝑥−3)(2𝑥+3)/ 𝑥2 .
On pose u = 4𝑥 2+7𝑥+9 et v = x ; u' = 8x+7 ; v' = 1.
(u'v -v'u) / v2 = [ (8x+7)x -(4𝑥 2+7𝑥+9) ) / x2 =(4x2-9) / x2 =(2x+3)(2x-3) /x2.
b. Étudier le signe de f '(𝑥) sur ]0; +∞[.
c. En déduire les variations de la fonction f sur ]0; +∞[.

3) Existe-t-il une tangente à Cf parallèle à la droite d’équation 𝑦 = 3𝑥 + 5 ? Justifier votre réponse.

Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.
Cette tangente existe si f '(x0) = 3.
3 = (4x2-9) / x2  ; 3x2 = 4x2-9 ; x2 = 9 ; x = 3 sur ]0 ; +oo[.
Il existe une unique tangente à la courbe Cf qui est parallèle à la droite d'équation y = 3x+5.
C'est la tangente Cf au point d'abscisse 3.


  
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