Mathématiques, physique chimie, concours TSPEI 2026

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Exercice 1 .
Un laboratoire prépare un test de dépistage médical. En choisissant aléatoirement un individu dans la population, on note :
 M l’événement "l’individu est malade",
T l’événement "l’individu est testé positif".
Les données de santé assurent que P(M) = 0, 1 et les données du laboratoire indiquent que PM(T) = 0, 98 et Pnon M(nonT) = 0, 95.
1. Que représentent PM(T) et PM(T) ?
PM(T) : probabilité que le test soit positif sachant que l'individu est malade.
Pnon M(nonT) : probabilité que le test soit négatif sachant que l'individu n'est pas malade.

2. Calculer P(T) et P(non T).
P(T) =0,098+0,045=0,143.
P(non T) = 0,1 *0,02 +0,9*0,95= 0,857.
3. Calculer PT (M) et Pnon T (non M).
PT (M) =P(T n M) / P(T) = 0,098 / 0,143=0,685.
Pnon T (non M) = P(non T n non M) / P(non T) = 0,855 / 0,857=0,998.
4. Dans quelle mesure le test vous parait-il utilisable ?
En étant pas malade, la probabilité d'un test négatif est 0,998.
En étant malade, la probabilité d'un test négatif est0,002.
Le test est utilisable.


Exercice 2
On définit la suite de fonctions fn par :
quelque soit x de l'intervalle  [0,+∞[, fn(x) =x exp(-n/x) si x diffère de zéro sinon 0 si x = 0.
1. Montrer que fn est une fonction continue sur [0,+∞[.
fn étant le produit de fonctions continues est une fonction continue.
2. Montrer que fn est dérivable (à droite) en 0. Donner f ′n(0).
fn étant le produit de fonctions dérivables est une fonction dérivable.
On pose u = x et v = exp(-n/x) ; u' = 1 ; v' =n/x2 exp(-n/x).
u'v+v'u = exp(-n/x) + n/x exp(-n/x) = (1+n/x) exp(-n/x).
Le terme en exponentielle tend vers zéro.
1+n/x tend ver s+oo. par produit des limites, f 'n(0) =0.
3. Dresser le tableau de variations de fn, limites comprises.

4. Montrer que fn(x) = x − n +n2/(2x)+ ox -->+oo (1/x).
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5. En déduire que la courbe représentative de fn admet une asymptote oblique au voisinage de +∞ et donner son équation.
Au voisinage de l'infini : n2/(2x) tend vers zéro.
 fn(x) = x − n tend vers +oo.
La courbe admet une asymptote oblique d'équation y = x-n.
6. Déterminer la position relative de la courbe par rapport à cette asymptote.
 fn(x) -( x − n )=n2/(2x) positif. La courbe est au dessus de l'asymptote.
7. Tracer la courbe représentative de fn. On placera l’asymptote oblique et la tangente en zéro.
Le tracé suivant correspond à n = 2.

Physique
On considère une caméra d'inspection utilisant un capteur CMOS de 24 × 36 mm avec des pixels de 10 μm et un objectif de focale f. Cette caméra permet d'observer une surface de 150 mm de large placée à 300 mm de l’objectif. On modélisera l’objectif par une simple lentille mince. Déterminer :
1) Le champ de vision en degrés de l’objectif.
a = 2  arctan (75/ 300)=2*14 = 28°.
2) La distance focale de l'objectif requis.
3) La résolution spatiale avec laquelle peut être inspectée la surface.
4) Le grossissement.
Grandissement optique : g = taille du capteur / dimension de l'objet = 36 / 150 = -0,24.
Le signe négatif signifie que l'image formée sur le capteur est inversée.
Distance objectif capteur p' : g = p'/ p avec p = -300 mm.
p' = g p = -0,24 x(-300) = 72 mm.
L'image se forme 72 mm derrière le centre optique de l'objectif.
Focale de l'objectif : appliquer la formule de conjugaison : 1 /f' = 1/p''-1/p = 1/72-1/(-300) = 0,0172 ; f ' = 58 mm.
Résolution spatiale :
Taille pixel objet = taille pixel capteur / |g| = 10 /0,24 ~ 42 µm.

Effectuez le tracé de rayon à échelle 1 :10 pour un objet situé à 30 mm de l’objectif. Comment sera l’image sur le capteur ?

Exercice 2.
Un générateur thermoélectrique à radio-isotope transforme la chaleur produite par la désintégration radioactive en électricité. Ces générateurs sont utilisés dans les sondes spatiales lointaines, comme Voyager 1. On considère un tel générateur, où du plutonium-238 (23894Pu)
     se désintègre en uranium- 234  (23492U) par émission alpha.
1) Donner le nombre de protons, neutrons et électrons présents dans un atome de plutonium et écrivez l’équation de désintégration..
94 protons ; 94 électrons et 238-94 =144 neutrons.
23894Pu --> 23492U + 42He.
2) Calculer l’énergie libérée par une telle réaction en Mev. On rappelle que la masse des différents éléments en unité de masse atomique (1,6654.10-27kg) est
 238,04955 pour le plutonium
 234,04095 pour l’uranium.
 4.00260 pour l’hélium
Dm =238,04955-234,04095-4,00260= 0,006 uma.
0,006 x1,6654 10-27 =9,9924 10-30 kg.
Energie libérée : Dm c2=9,9924 10-30 * (3 108)2 ~9 10-13 J..

 On rappelle aussi que 1eV = 1,6.10-19J.
3) Evaluez la masse molaire du Plutonium-238. On rappelle que la valeur du nombre d’Avogadro : N=6,02214 x 1023 mol-1 et on donne :
 masse neutron = 1,6749 x 10-27 kg
 masse proton = 1,6726 x 10-27 kg.
(144 x1,6749+94 x1,6726 ) 10-27=3,9841 10-25 kg
3,9841 10-25 * 6,02214 1023 = 0,240 kg.
4) La demi-vie du Plutonium-238 est 87,7 ans. Evaluer par quel facteur l’activité du Plutonium dans la sonde Voyager 1 a été réduite de nos jours, depuis son envoi en 1977.
2026-1977=49 ans.
Au bout d'une demi-vie l'activité est divisée par 2.
Constante radioactive l = ln2 / t½ =0,0079 an-1.
49 / 87,7=0,56.
A = A0 exp(-l t) ; A / A0 = exp(-0,079 x 49)=0,68.
Réduction 1 de l'activité 1-0,68 = 0,32.
5) Expliquer comment cette énergie peut être utilisée pour alimenter en électricité la sonde ?
Une différence de température entre deux jonctions de matériaux conducteurs produit une tension électrique.

Chimie. Exercice 1 : Etude d’une pile.
On considère la pile schématisée de la façon suivante : Pt│ Sn4+, Sn2+║Hg22+, Hg2+│Pt
avec les concentrations suivantes :
[Hg22+] = 1,0.10-2 mol.L-1, [Hg2+] = 1,0.mol.L-1, [Sn4+] = 1,0.10-2 mol.L-1, [Sn2+] = 1,0. mol.L-1.
Les solutions des deux compartiments ont le même volume V = 50 mL
Données : E°1(Hg2+, Hg22+)= 0,91 V ; E°2(Sn4+/Sn2+) = 0,15V.
1. Déterminer le potentiel initial de chacune des électrodes.
2Hg2++2e- --> Hg22+.
E1 = E°1(Hg2+, Hg22+)+0,03 log([Hg2+]2 / [Hg22+]) = 0,91+0,03 log(1 / 0,01)=0,97 V.
Sn4++2e- = Sn2+.
E2 =E°2(Sn4+/Sn2+)+0,03 log([Sn4+] /[Sn2+]) =0,15 +0,03 log(0,01/1)= 0,09 V.
2. Faites un schéma de la pile en indiquant la polarité de la pile, le sens du courant, des électrons et la nature des bornes.

3. Donner l’équation-bilan de la réaction de fonctionnement de la pile.
2Hg2++2e- --> Hg22+.
Sn2+ = Sn4++2e-
2Hg2++Sn2+ = Hg22+ +Sn4+.
4. Déterminer la composition de la pile lorsqu’elle ne débite plus.
état
 2Hg2+ +Sn2+ = Hg22+ +Sn4+.
initial
 1*50 = 50 mmol
 1*50 = 50 mmol 0,5 mmol
 0,5 mmol
en cours
 50-2x
 50-x
 0,5+x
 0,5+x
final
 50-2xfin =0 ; xfin =25 mmol
 50-25=25 mmol
 0,5+25=25,5 mmol
 0,5+25=25,5 mmol

5. Déterminer la capacité de la pile c’est-à-dire la quantité d’électricité qui a alors traversé le circuit.
Quantité de matière d'électrons : ne =25 mmol.
Q = 96500 x 25 10-3 =2,4 103 C.

Exercice 2 : Synthèse de l’ammoniac.
L’oxyde de nickel (NiO) cristallise en maille cubique à faces centrées d’anions oxyde O2– avec les cations Ni2+ occupant tous les sites octaédriques. On précise qu’au sein d’un cristal ionique, la condition de contact est telle qu’on maximise les interactions attractives entre les charges de signe opposé.
1. Réaliser un schéma légendé de la maille de l’oxyde NiO, en distinguant les anions oxyde et les cations nickel.


2. Donner la population de chaque type d’ion au sein de la maille et la commenter en lien avec la stoechiométrie de l’oxyde.

Chaque ion oxyde, situé au milieu d'un coté appartient à 4 cubes et compte donc pour 1/4 ; il y a douze cotés ; par suite 3 ions oxyde par maille.
Ajoutons l'ion O2- situé au centre du cube : total 4 ions O2- par maille.
Chaque ion nickel, situé à un sommet appartient à 8 cubes et compte donc pour 1/8 ; il y a 8 sommets : par suite 1 ion Ni2+ pour la maille.
Chaque ion nickel, situé au centre d'une face appartient à 8 cubes et compte donc pour 1/2 ; il y a 6 faces : par suite 3 ions Ni2+ pour la maille.
total 4 ions Ni2+ par maille.

3. Donner l’expression de la masse volumique du solide, en fonction des masses molaires du nickel et de l’oxygène, du paramètre de maille, noté a, et de toute autre constante pertinente, puis la calculer.
Données : Masses molaires (Ni) = 59 g·mol-1, M(O) = 16 g·mol-1
Paramètre de maille du solide NiO : a = 418 pm
Constante d’Avogadro Na = 6,02.1023 mol-1.

volume de la maille : V= a3 = (4,18 10-10)3 = 7,3 10-29 m3.
m : masse de 4 motifs NiO contenus dans une maille :
Masse molaire NiO = M= 59+16=75 g/mol
m =4 M 10-3/NA= 4*75 10-3/6,02 1023=4,98 10-25 kg
masse volumique r= m/V =4,98 10-25 / (7,3 10-29 )=6,82 103 kg m-3.

4. Établir la condition de contact entre les ions et en déduire une relation entre le paramètre de maille,
noté a, et les rayons ioniques R– et R+, respectivement de l’anion et du cation.

représentons une section de la maille, les anions étant plus gros que les cations.

Paramètre de maille a : RNi2+ = 72 ,0 pm ; RO2- = 140 pm. a = 2(RNi2+ + RO2- )=2(72+140)=424 pm.

5. Déterminer la coordinence anion-cation de la structure.

Coordinence ou nombre de plus proches voisins de signe contraire = 6:

Chaque ions se trouve au centre d'un octaèdre dont les sommets sont occupés par des ions de signe contraire.



  
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