Probabilités.
BTS groupe C 2017.

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Partie 1 : Production.
Dans le cadre de la fabrication d’une console de jeux, nommée XS5, une entreprise d’injection plastique est chargée de fabriquer les coques plastiques des manettes utilisées avec cette console XS5. Ces coques sont constituées de deux pièces, la demi-coque supérieure S et la demi-coque inférieure I, que l’on assemble lors du montage de la coque.
Lors de l’injection du plastique dans le moule, il arrive que la pression ne soit pas suffisante et que la pièce, bien que d’aspect conforme, ne soit pas de densité suffisante pour garantir certaines propriétés de résistance.
Une demi-coque supérieure S est jugée conforme lorsque sa masse est supérieure à 62 grammes.
On considère la variable aléatoire X qui, à toute demi-coque supérieure S prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. On suppose que X suit la loi normale d’espérance m = 63 et d’écart-type s = 0,45.
Quelle est la probabilité qu’une demi-coque supérieure S prise au hasard dans la production soit jugée conforme ?
On pose Y = (62-m) / s = -1 /0,45 =-2,22. Y suit la loi normale centrée réduite.
P(Y > -2,22) = P(Y<2,22) = 0,9868 ~0,987.
Partie 2 : Contrôle de la conformité.
Toutes les semaines, le responsable de la production effectue un test pour contrôler si la presse est toujours réglée correctement. Un dérèglement de la presse pourrait, en effet, conduire à une augmentation de la proportion de demi-coques supérieures S non conformes.
Pour cela, on construit un test d’hypothèse unilatéral pour savoir si, au seuil de 5%, on doit considérer que, la presse s’étant déréglée, la masse des demi-coques supérieures S a diminué.
Soit X, la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 demi-coques supérieures S prélevées au hasard dans la production, associe sa masse moyenne. La production est suffisamment importante pour que l’on puisse assimiler la constitution de l’échantillon à un tirage avec remise.
On admet que X suit une loi normale d’espérance m et d’écart-type s = 0,045.
1. On choisit l’hypothèse alternative H1 :m< 63. Donner l’hypothèse nulle H0.
H0 : la masse moyenne est égale à 63 g.

2. Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification. Sous cette hypothèse nulle, dans ce type de test, la région de rejet est :
a. ]−∞; 62,926]
b. [62,926 ; +∞[
c. ]−∞; 62,912] ∪ [63,089 ; +∞[ . Vrai.
3. Énoncer la règle de décision du test.
Si la masse moyenne appartient à ]62,912 ; 63,089[ on retient l'hypothèse H0, sinon on retient H1 avec un risque d'erreur de 5 %.
4. On prélève dans la production un échantillon de 100 demi-coques supérieures S. La masse de cet échantillon est 6294 g. Peut-on, au seuil de 5 %, considérer que la masse moyenne des demi-coques supérieures S a baissé ?
Masse moyenne : 6294 / 100 = 62,94 g.
Cette valeur appartient à ]62,912 ; 63,089[. La masse moyenne des demi-coques n'a pas baissé, au risque d'erreur de 5 %.
5. Si ce test unilatéral avait été réalisé au seuil de 1 %, déterminer quelle aurait été la région de rejet.
2,575 x 0,045 ~0,116.
Région de rejet ]−∞; 63-0,116] ∪ [63+0,116 ; +∞[
]−∞; 62,884] ∪ [63,116 ; +∞[





3. Assemblage des manettes.
Lors de la réalisation de la manette, on assemble une demi-coque supérieure S et une demi-coque inférieure I. On admet que 1,3 % des demi-coques supérieures S et 2 % des demi-coques inférieures I ne sont pas conformes. Les choix des pièces à assembler sont indépendants.
 1. Une manette est défectueuse lorsqu'au moins une des deux demi-coques qui la compose est non conforme. Démontrer que la probabilité, arrondie à 10-4 près, qu'une manette soit défectueuse est 0,0327.
Probabilité que S soit non conforme : 0,013.
Probabilité que I soit non conforme : 0,02.
Probabilité que S et I soient non conformes : 0,013 x0,02 = 0,00026.
Probabilité qu'une manette soit non conforme : 0,013 +0,02 -0,00026 = 0,03274 ~0,0327.
2. Certaines manettes sont vendues avec les consoles, les autres sont emballées individuellement et commercialisées auprès des distributeurs par lots de 50.
On choisit au hasard un lot de 50 manettes dans le stock. On admet que le stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 50 manettes.
Soit Y la variable aléatoire qui, à tout lot de 50 manettes prélevé au hasard dans la production, associe le nombre de manettes défectueuses du lot.
a. Justifier que Y suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Les prélevements sont indépendants et leur nombre est fixé à n = 50. La probabilité qu'une manette soit non conforme est constante p = 0,0327. La probabilité  qu'une manette soit conforme est q = 1-p = 0,96726 ~0,967.
X suit la loi binomiale de paramètre n = 50 et p = 0,0327.
b. Calculer la probabilité qu'aucune manette du lot ne soit défectueuse.
P(Y=0) =C050 q50 p0 =0,9672650 =0,00657~0,1893.
c. Calculer la probabilité P(Y >2) puis interpréter ce résultat.
P(Y >2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-0,5099 ~0,4901  d'après la calculatrice.
La probabilité de trouver plus d'une manette défectueuse par lot de 50 est égale à 49 %.
d. Calculer l'espérance E(Y) de la variable aléatoire Y. Que représente ce nombre dans un grand nombre de lots ?
E(Y) = n p = 50 x0,03274 = 1,637.
Dans un grand nombre de lot, E(Y) représente la moyenne ( nombre moyen de manette défectueuse par lot ).









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