Mathématiques BTS groupe A Métropole Antilles 05/21. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. .. .. . . .. .. ...... ... Exercice 1.(11 points). Le principe des CPL consiste à superposer au réseau électrique un signal de haute fréquence et de basse énergie. Ce deuxième signal se propage sur l'installation électrique et peut être reçu et décodé à distance. A. Etude d'un signal. a. Quelle est la valeur de la période T ? T = 10 µs = 1,0 10-5 s. b. Quelle est la fréquence de cette tension ? f = 1 / T = 1 / 10-5 = 1,0 105 Hz. 2. On modélise l'évolution de U ( en V) à l'aide d'une fonction numérique f  définie sur R . U(t) = f(t). f est paire, périodique de période T, développable en série de Fourier. a. Justifier que bn=0 pour tout entier n > 1. v est une fonction paire ; sin(nx) est une fonction impaire ; les termes sin(nx) sont donc nuls. b. Justifier que a0 = 9,6. 3. Montrer que Ueff = 10,7 V. 4. Le signal correspondant à la tension U est envoyé sur une ligne moyenne tension transportant une tension efficace  de M = 20 000 V. Le taux de distorsion harmonique par rapport au fondamental, noté TF est donné par : TF2 = (Ueff2 -a02) / M2. On conssidère qu'un CPL n'a pas d'incidence sur le réseau si TF < 0,1 %. Le CPL étudié a t-il une incidence sur le réseau ? TF2 = (10,72 -9,62) / (2 104)2=5,6 10-8 ; TF ~2,4 10-4 ( 2,4 10-2 %). Cette valeur étant inférieure à 0,1 %, le CPL n'a pas d'incidence sur le réseau. B. Transmission numérique.  Le signal porteur étudié en A peut être utilisé pour transmettre des signaux numériques (bits) durant chaque période. Dans certaines conditions les bits peuvent être mal transmis. On se place dans cette partie, dans ces conditions. On transmet, durant chaque période, 80 bits. Chaque bit a une probabilité égale à 0,015 d'être mal transmis. On note X la variable aléatoire qui associe à chaque période le nombre de bits mal transmis durant cette période. 1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Préciser ces paramètres. Loi binomiale de paramètres n = 80 et p = 0,015. 2. Calculer la probabilité que tous les bits soient correctement transmis durant cette période. P(X = 0)= 0,298. 3. Calculer la probabilité que strictement plus de 4 bits soient mal transmis. P(X > 4) = 1-P(X < 4) =1-0,9928 ~7,2 10-3. 4.a. Calculer l'espérance de la variable X. E = n p = 80 x0,015=1,2. b. On considère que la ligne est de bonne qualité si, en moyenne, moins de 2 bits sont mal transmis durant une période. La ligne est-elle de bonne qualité ? E = 1,2 < 2, la ligne est de bonne qualité. C. Durée de vie d'un coupleur CPL. On modèlise cette durée de vie par une variable aléatoire Y suivant une loi normale de moyenne 12 et d'écart type s = 2. 1. Calculer la probabilité qu'un coupleur ait une durée de vie comprise entre 10 et 12 ans. P(Y < 10) =0,15865 ; P(Y < 12) =0,500 ; P(10 < Y <12)=0,5-0,15865=0,341. 2. Calculer la probabilité qu'un coupleur ait une durée de vie supérieure à 10 ans. P(Y > 10) = 1-P(Y <10) = 1-0,15865 ~0,841. 3. Sachant qu'un coupleur est toujours en fonctionnement au bout de 10 ans, calculer la probabilité qu'il cesse de fonctionner dans les deux années suivantes. PY >10 ( Y <12) = P(10 < Y <12) / P(Y > 10) ~0,341 / 0,841 ~0,406. ... .... Exercice 2. (9 points). Le montage suivant est constitué d'une bobine d'inductance L = 0,001 H et d'une résistance R, assemblées en série.  Ce montage est utilisé pour extraire un signal CPL haute fréquence du réseau. A. Test du filtre. Dans cette partie, R est un paramètre strictement positif fixé. La tension ve est constante égale à 12 V. A t=0, on admet que la tension aux bornes de la bobine est 12 V. La tension vs vérifie pour tout t > 0 : v's +R/L vs =0. 1. Déterminer les solutions de l'équation différentielle. vs(t) = A exp(-R / L) t avec A une constante. 2. En déduire que vs(t) = 12 exp(-1000 R t). A t=0 : vs(t=0) = 12 = A e0 = 12. R / L = R / 0,001 = 1000 R. vs(t) = 12 exp(-1000 R t). 3.a Quel est le sens de variation de la fonction vs ? Justifier. v's(t) = -12 000 R exp(-1000 R t) strictement négative. vs(t) est strictement décroissante. b. Déterminer la limite de vs(t) quand t tend vers plus l'infini. Quand t tend vers plus l'infini, exp(-1000 R t). tend vers zéro. vs(t)  tend donc vers zéro. 4. Déterminer la valeur de R telle que pour t = 0,001, la tension vs(t) soit égale à 1 % de la tension d'entrée ve. vs(t=0,001)=0,12  = 12 exp(-1000 R *0,001). 0,01 = exp(-R) ; R = -ln(0,01) ~4,6 ohms. B . Etude du filtre. Fonction échelon U(t) = 0 si t < 0 et U(t) = 1 si t > 0. On prendra R = 5 ohms. On admet que la fonction de transfert du montage est H(p) = p /(p +5000). 1. On considère que pour tout réel t :  ve(t) = 12 U(t) -12 U(t-8 10-6).   Déterminer la valeur de ve(t) pour t < 0, puis pour  0 < t < 8 10-6  et enfin pour t > 8 10-6. t < 0 : U(t) = 0 et ve(t) =0. 0 < t < 8 10-6  : ve(t) = 12 . t > 8 10-6 :  ve(t) = 12  -12 =0. 2.a Déterminer la transformée de Laplace VE(p) de ve(t). ve(t) = 12 U(t) -12 U(t-8 10-6). VE(p) = 12 / p -12 / p exp(-8 10-6p). b. En déduire que VS(p) =12 /(p+5000) -12 exp(-8 10-6p) / (p+5000). VS(p) = H(p) x VE(p) = p /(p +5000) [12 / p -12 / p exp(-8 10-6p)]. VS(p) =12 / (p +5000) -12 / (p +5000) exp(-8 10-6p). 3. Exprimer vs(t) en fonction de t et de la fonction échelon U. vs(t) =12 exp(-5 103t)U(t)-12exp(-5 103(t-8 10-6))U(t-8 10-6). . 4. On a représenté la tension de sortie vs en fonction de t exprimé en microseconde. Sur le même graphique représenter la tension d'entrée ve. Que constate t-on ? ve(t) et vs(t) ont quasiment les mêmes valeurs.

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