Mathématiques,
datation d'une roche, étude d'une huile moteur.
Concours interne TSPEI 2019.
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Exercice 1.
Soit un circuit comprenant un générateur de fem E, une bobine de
résistance R et d'inductance L et un interrupteur. A la date t après la
fermeture de l'interrupteur, l'intensité du courant est i(t) = I (
1-exp(-t / k)).
I = E / R et k = L / R, constante de temps.
On se propose d'étudier la fonction i(t) sur [0 ; +oo[. On note C sa
courbe représentative.
1.
Calculer i(0).
i(0) = I (1-1) = 0.
2. Déterminer la limite de i(t)
quand i tend vers +oo. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
Le terme en exponentielle tend vers zéro et i(t) tend vers I = E / R (
régime permanent).
La courbe C admet une asymptote horizontale d'équation i(t) = I= E / R.
3. Calculer la dérivée de la
fonction i et en déduire le tableau de variation de i.
i'(t) = I / k e-t / k = E / L e-t / k .
La dérivée étant positive, la fonction i(t) croît de 0 à I = E / R.
4. Déterminer une
équation cartésienne de la tangente T à la courbe au point d'abscisse t
= 0.
Coefficient directeur de cette tangente : i'(0) =E / L.
Equation de la tangente i(t) = E / L t.
5. Construire la
cournbe C et la tangente T en prenant I = 1 et k = 0,5.
6. A partir de quel
temps ( exprimé à l'aide de k ) peut-on affirmer que i(t) sera
supérieur à 0,99 I ?
1-exp(-t
/ k) > 0,99 ; exp(-t
/ k) < 0,01 ;-t / k < ln(0,01) ;
t > k ln(100) ; t > 4,6 k.
Exercice 2.
Soient les nombres complexes z1 = -1 +i 3½ et z2
= -1-i 3½.
1. Déterminer les
modules de ces nombres ainsi que leurs arguments..
Ces nombres complexes étant conjugués, ils ont le même module :
|z1| =|z2| =( (-1)2 +(3½)2)½
=(1+3)½ = 2.
z1 / |z1| = -0,5 +i 3½ / 2 =cos(2p/3) + i sin(2p/3)
z1 = 2 (cos(2p/3) + i sin(2p/3)) = 2 exp(i2p/3).
z2 = 2 (cos(-2p/3) + i sin(-2p/3)) = 2 exp(-i2p/3).
2. Calculer z13
puis z23.
z13
=23 exp(i2p)
= 8.
z23 =23 exp(-i2p)
= 8.
3. En déduire les
solutions dans C de l'équation (E) : z3 = 1.
Une solution réelle zA = 1.
Deux racines complexes :(z-1) ( z2 +bz+c) = 0.
z3+bz2 +cz -z2 -bz -c =z3-1.
On identifie : c = 1 ; b = c = 1.
z2 +z+1 =0 ; discriminant D = 12-4 = -3 = 3
i2.
Solutions zB = (-1 +i 3½) / 2 = z1 / 2.
zC = (-1 -i 3½) / 2
= z2 / 2.
4. Dans le plan
complexe, construire les points dont les affixes respectives sont les
solutions de (E).
5. Démontrer que le
triangle obtenu est équilatéral dont on précisera la longueur d'un côté.
AB =|zB-zA| = ( -1,52 +(3½
/ 2)2)½ =3½.
AC =|zC-zA|
= ( -1,52 +(-3½ / 2)2)½ =3½.
BC =|zC-zB|
= ( 02 +( 3½)2)½ =( 12)½
= 3½.
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Datation
d'une roche. Méthode du potassium-argon.
Les
roches volcaniques contiennent du potassium et en particulier un
isotope radioactif, le potassium 40. Ce dernier se transforme en argon
qui se trouve piégé dans la roche. Au cours du temps la quantité de
potassium 40 décroît suivant 2 modes de transformations spontanée :
89,5 % des noyaux subissent une désintégration ß-.
10,5 % subissent une capture électronique selon : 4019K
+0-1e--> 4018Ar.
Pour dater la roche on utilise la relation NAr(t) / NK(t)
= 0,105 (elt-1)
(1) avec l= 5,81
10-11 an-1.
1. Quelle est la
nature d'une particule ß-. Ecrire l'équation de la
désintégration correspondant au premier mode de transformation.
Une particule ß- est un électron noté 0-1e.
4019K
-->AZX + 0-1e.
Conservation du nombre de masse : A = 40.
Conservation de la charge : 19 = Z-1 ; Z = 20 ( élément calcium Ca)
2. Définir
demi-vie radioactive et calculer sa valeur pour la seconde
transformation.
La demi-vie notée t½ est la durée au bout de laquelle,
l'activité initiale est divisée par 2.
lt½=
ln (2) ; t½ = ln(2) / (5,81 10-11) =1,19 1010
an.
1.3. On se propose
de retrouver la relation (1).
1.3.a . Rappeler la
loi de décroissance radioactive.
NK(t) = NK(0) exp (-lt).
1.3.b. compte tenu
de l'hypothèse de la seule capture électronique, quelle relation
peut-on écrire entre NAr(t) et NK(t) et NK(0).
NAr(t)
= 0,105 (NK(0)
- NK(t)).
1.3.c. En déduire NAr(t)
= 0,105NK(t) ( exp(-lt)-1).
NAr(t)
= 0,105 (NK(t)
exp (lt)
- NK(t)) = 0,105 NK(t)
(exp (lt) -1).
1.4. Des ossements ont été
découverts entre deux couches de tuf volcanique. On date ces ossements
par la méthode du potassium 40.
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Argon
40 ( mol par g d'échantillon)
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Potassium
40 ( mol par g d'échantillon) |
Tuf
1
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2,260
10-11
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1,667
10-7
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Tuf
2
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2,242
10-11
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2,604
10-7 |
Calculer l'âge de chacun de ces tufs et estimer l'âge des ossements.
NAr(t)
/ NK(t) = 0,105 (elt-1) ; 2,26 10-11
/ (1,667 10-7) = 0,105 ( exp(5,81 10-11t)-1).
1,2912 10-3 = exp(5,81
10-11t)-1 ; exp(5,81
10-11t) =1,00129.
5,81
10-11t = ln(1,00129) =1,29 10-3 ; t = 2,22 107
ans.
NAr(t)
/ NK(t) = 0,105 (elt-1) ; 2,242 10-11
/ (2,604 10-7) = 0,105 ( exp(5,81 10-11t)-1).
8,610 10-5 = exp(5,81
10-11t)-1 ; exp(5,81
10-11t) =1,000086.
5,81
10-11t = ln(1,000086) =1,29 10-3 ; t = 1,48 106
ans.
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Etude
d'une huile moteur.
Mesure de la viscosité dynamique à l’aide d’un viscosimètre à chute de bille.
Un
viscosimètre à chute de bille comporte un long tube, mobile autour d’un
axe horizontal. Le tube comporte deux traits repères a et b. La
distance entre ces deux repères est notée d. On y introduit de l’huile
de masse volumique r et une bille en acier de masse volumique rs
et de rayon calibré R tel que son diamètre soit inférieur au diamètre
du tube. On rappelle que le volume V d’une sphère de rayon R s’exprime
par la relation : V =4/3 pR3.
Le tube est muni d’une double enveloppe transparente dans laquelle circule de l’eau provenant d’un bain thermostaté.
On rappelle la loi de Stokes
pour une bille de rayon R en mouvement à la vitesse v dans un fluide de
viscosité dynamique h : la force de frottement est opposée à la vitesse
et son expression est :
f = 6phRv
Déterminer l’unité de la viscosité dynamique à l’aide de la loi de Stokes.
h = f /(6pRv).
6 p est sans dimension ; R est une longueur (L) ; v est une vitesse, c'est à dire une longueur divisée par un temps ( LT-1) ; f est une force soit une masse multipliée par une accélération ( MLT-2).
Par suite [h]=MLT-2 / (L2T-1) =ML-1T-1 . ( kg m-1s-1 ou Pa s).
Reproduire le schéma simplifié du tube central sur la copie, représenter les forces qui s’exercent sur la bille et les nommer.
La bille est soumise
à son poids, à la poussée d'Archimède P et à la force de frottement fluide. Expliquer qualitativement pourquoi la bille atteint une vitesse limite.
Vérifier que cette vitesse limite a pour expression : vlim=2/9R2g(rs-r)/ h.
La poussée d'Archimède et le poids restent constants, tandis que le force de frottement fluide croît avec la vitesse.
La bille est
pseudo-isolée lorsque la vitesse limite est atteinte : la somme des
forces est nulle.
4/3pR3rsg = 4/3pR3rg
+ 6pRhvlim.
4/3R2rsg - 4/3R2rg
= 6hvlim ; vlim=
4/3R2g(rs-r)/ ( 6h)=2/9R2g(rs-r)/ h.
Dans
les conditions de l’expérience, la bille, lâchée au-dessus du repère, a
atteint sa vitesse limite dès le début du mouvement, avant d’atteindre
le repère a.
Exprimer la vitesse limite de la bille en fonction de d et de Δt, durée de parcours entre les deux repères a et b. vlim = d/Dt.
Montrer alors que la viscosité dynamique peut s’écrire sous la forme : h =K(rs-r) Dt.
2/9R2g(rs-r)/ h= d/Dt ; h= 2/9R2g/ d (rs-r) Dt = K(rs-r)) Dt.
K = 2/9R2g/ d.
A 20 °C, on a mesuré une durée de chute Δt = 6,7 s et une masse volumique pour l’huile r = 875 kg.m-3.
Calculer la viscosité dynamique de l’huile à cette température.
On donne K= 3,55 10-8 Pa m3 kg-1 et rs =7,85 103 kg m-3.
h=3,55 10-8( 7,85 103-875)*6,7 =1,66 10-3 Pa s.
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