Mathématiques, Concours interne IIM 2021.

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Problème 1.
L'objet est la construction d'approximations numériques de p.
1.1 Pour tout entier naturel n on note Sn la somme 

Montrer que pour tout k entier naturel l'intégrale suivante existe et la calculer.
La fonction f(x) = x2k est continue car dérivable.
L'intégrale converge sur l'intervalle [0 ; 1].

1.2. Démontrer que pour tout n entier naturel, on a :



1.3. En déduire que cette série est convergente, préciser sa somme et montrer que, pour tout n entier naturel :


1.4. Soit e > 0, combien de termes de la série 4 Sn est-il suffisant de calculer pour obtenir une approximation de p à e près ? Donner la valeur numérique pour e = 10-2.
4 un converge vers p.
Il suffit de trouver n tel que 1 / (2n+1) < 0,01.
1 < 0,02 n +0,01.
n > 0,99 / 0,02 ~50.

2. Formule de Machin.
2.1. Soient a et b deux réels tels que cos a, cos b et cos (a+b) soient non nuls. Exprimer tan (a+b) en fonction de tan a et  tan b.
tan (a+b) = sin (a+b) / cos ( a+b).
sin (a+b)=sin a cos b + cos a sin b.
cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b.
Or tan a = sin a / cos a soit sin a = tan a * cos a ; de même
sin b = tan b * cos b.
sin (a+b)=tan a * cos a * cos b + cos a * tan b * cos b = cos a *cos b ( tan a + tan b).

cos(a+b) = cos a cos b -  tan a * cos a * tan b * cos b = cos a *cos b (1-tan a * tan b).
tan (a+b) =( tan a + tan b) / (1-tan a * tan b).
On pose t = tan x ;
tan (2x) = 2t / (1-t2).

2.2. On pose a = Arctan (1 /5) et b = Arctan (1 / 239). Calculer tan (4a-b) et en déduire la valeur de 4a-b.
tan (a-b) = (tan a - tan b) / (1+tan a * tan b).

tan ( 4 Arctan (1/5)-Arctan(1 / 239)) = [ tan(
4 Arctan (1/5) ) -tan (Arctan (1 / 239)) ] / [1+tan( 4 Arctan (1/5) )tan (Arctan (1 / 239)) ]

2.3. Rappeler le développement en série entière de 1 /(1+x) et préciser son rayon de convergence. En déduire celui de Arctan ainsi que son rayon de convergence
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1 / (1+x) = 1-x+x2 +... +(-1)n xn.
un+1 / un =
(-1)n+1 xn+1  /(-1)n xn) = -x.
Quand  n tend vers plus l'infini,
un+1 / un tend vers -x.
Rayon de convergence R = 1 /x.

Développement limité de Artan(x).
On change de variable :
1 / (1+x2) = 1-x2+x4 +... +(-1)n x2n.
On intègre car ( Arctan x )' = 1 / (1+x2).
x-x3 / 3 +...+(-1)n x2n+1 / (2n+1).

2.4. En déduire une série numérique dont p est la somme. Que pensez de la vitesse de convergence de cette série par rapport à celle de la question 1 ?
p = 4 (Arctan (1/5) -Artan(1/239).
p = 4[4a-b]=4 [ 4(1 /5 -1/53 /3+...+(-1)n (1/5)2n+1 / (2n+1)-( 1 /239 -1/2393 /3+...+(-1)n (1/239)2n+1 / (2n+1))].
Cette série converge très rapidement.



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Problème 4.
Un modèle d'évolution de populations animale relie le nombre d'individus y(t) en fonction du temps t à la variation y'(t) de ce nombre et aboutit à une équation différentielle non linéaire du type
y'(t) = a y(t) -by(t) ½. (E).
a et b sont deux réels positifs. On étudie ce problème pour t appartenant à R+.
L'objet de ce problème est de résoudre l'équation (E) à l'aide d'un changement d'inconnue et de comprendre l'évolution finale de la population en fonction du nombre d'individus initial y(0) = y0 appartenant à R+.
1. A quelle condition portant sur y0, le nombre d'individus reste-t-il constant au cours du temps ?

y'0 = 0 ; ay0-by0½ = 0 ; ay0½ -b = 0 ; y0 = (b / a)2.

2.  On suppose que y est une fonction strictement positive sur un intervalle I.
2.1. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si la fonction z2 =y est solution strictement positive sur I d'une équation différentielle linéaire (E') que l'on précisera.
y' = 2z z' ; 2z z' = az2-bz.
2z' = az -b  ; z'-0,5 az = -0,5 b (E').
2.2. Résoudre (E') et préciser le signe de ses solutions.
Solution générale de z' -0,5 az = 0.
z=A e0,5at avec A une constante.
Solution particulière de (E') : z = b / a.
Solution générale de (E') :
z=A e0,5at +b / a.
2.3. En déduire la forme générale des solutions de (E) avec leur intervalle de définition puis parmi ces solutions celle vérifiant y(0) = y0.
y =z2 = (A e0,5at +b / a)2 =A2eat +(b/a)2 +2Ab / a e0,5at .
y0 =
A2 +(b/a)2 +2Ab / a = (b / a)2.
A2 +2Ab / a = 0 ; A=-2b /a.
y =
(-2b /a e0,5at +b / a)2 .
y = (b/a)2(1-2
e0,5at)2.
y = y0(1-2 e0,5at)2.

3. Préciser, en fonction de y0, a et b, l'évolution de la population, au fil du temps. Indiquer lorsqu'il y a lieu le temps au bout duquel la population étudiée s'éteint.
y0(1-2 e0,5at)2 = 0.
1-2 e0,5at = 0.
e0,5at =0,5 ; 0,5at = ln(0,5) = -ln(2).
t = -2 ln(2) /a ; impossible t est positif ( la population ne s'éteint pas).



  
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