Diffraction, dimension d'une micro-algue, bac Mayotte 2022.

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Pour dépolluer l’air de Toulouse, un dispositif d’un nouveau genre vient d’être installé dans le centreville. Grâce à un principe basé sur le développement de micro-algues, il serait aussi efficace qu’une centaine d’arbres et pourrait devenir une solution d’avenir. Cette innovation technique mesure plus de 5 m de haut, et est équipé d’une cuve dans laquelle se trouvent les algues. L’air ambiant, capturé et aspiré par le bas du dispositif, remonte en fines bulles à l’aide d’une pompe jusqu’à la cuve où se trouvent les microalgues. Celles-ci transforment ensuite les polluants et le dioxyde de carbone (CO2) présents dans l’air ambiant. Après absorption du dioxyde de carbone par ces micro-algues, la photosynthèse rejette du dioxygène. Lorsque les micro-organismes seront devenues trop gros, ils sont retirés de la cuve pour servir d’engrais. Ces micro-algues ont une forme sphérique. L’objectif de cet exercice est de déterminer leurs diamètres en utilisant la diffraction d’une lumière laser, considérée monochromatique.
Choix du laser
Pour déterminer la longueur d’onde du laser, une expérience de diffraction est réalisée. Une fente est placée devant le faisceau laser et l’on peut alors mesurer la largeur l de la tache centrale de diffraction obtenue sur un écran.

1. Déterminer la relation entre l’angle q, la distance D entre la fente et l’écran et la largeur l de la tache centrale. La théorie de la diffraction d’une lumière monochromatique nous indique que l’angle q, en radians, est aussi lié à la longueur d’onde l de la radiation et à la largeur a de la fente : q= l / a.
tan q ~q = ½l / D.
D'autre part : q= l / a.
Par suite : l = l D / (2a).

 Nous disposons de plusieurs fentes de largeurs connues et d’instruments de mesure de distance. La valeur de D est connue et égale à 1,50 m.
 2. Proposer une méthode pour déterminer la longueur d’onde l du laser, à l’aide du matériel à disposition.
À l’aide des fentes de largeurs a connues, on peut mesurer pour chacune d’elles la largeur l de la tache centrale,
 et tracer le graphe l = f (1 /a).
On obtient une droite de coefficient directeur l D / 2.

À l’aide des fentes de largeurs a connues, on peut mesurer pour chacune d’elles la largeur l de la tache centrale, et tracer le graphe q (rad) = f (1 /a).

3. Exploiter le graphique pour calculer la valeur de la longueur d’onde l du laser en nm.
Coefficient directeur de la droite = l = 1,10 10-2 / 20000 =5,5 10-7 m =550 nm.

Détermination du diamètre d’une micro-algue.
En isolant une micro-algue placée sur une lamelle de microscope, on peut pointer un faisceau laser vert de longueur d’onde lv= 532 nm pour qu’il éclaire cette micro-algue. On obtient alors une figure de diffraction formée d’anneaux concentriques.
La figure de diffraction d’un disque opaque de diamètre d est identique à celle d’une ouverture circulaire de même diamètre d. L’angle q (très faible) du premier anneau sombre de la tache dite d’Airy (voir figure 5) est donné par la relation : q (rad) = 1,22 × lv / d.

 4. Établir la relation qui donne le diamètre d de la micro-algue en fonction de la longueur d’onde lv du laser, la largeur l de la tache centrale et de la distance D entre la lamelle de microscope et l’écran, sachant que l est très inférieur à D.
tan q ~q = ½l / D.
q (rad) = 1,22 × lv / d.
d=
2,44 × lv D / l.
La mesure sur l’écran de la largeur l donne une valeur égale à l = 1,50 cm.
5. Calculer le diamètre d de la micro-algue. Donner cette valeur en m, puis en µm. Pour une meilleure efficacité du dispositif, les micro-algues doivent être remplacées lorsque leur diamètre dépasse 250 µm. Indiquer alors si la micro-algue étudiée doit être remplacée.
d = 2,44 x 532 x 1,50 / 0,0150=1,3 105 nm=130 µm.
Il n'est pas nécessaire de remplacer la micro-algue.



  
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