Observation de la planète Mars, bac Métropole 2022.

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1. Observation de Mars avec une lunette astronomique
On peut observer la planète Mars avec une lunette astronomique afocale composée de deux lentilles minces convergentes L1 et L2 de distances focales respectives f1’ = 900 mm et f2’ = 20 mm. Le schéma donné représente des rayons lumineux provenant des deux points de Mars P1 et P2. Ces deux points sont :
- situés à la surface de Mars ; - supposés à l’infini ; - diamétralement opposés ;
- écartés d’un angle q correspondant à l’angle sous lequel la planète Mars est vue par un observateur terrestre ;
- observés depuis la surface de la Terre.
 Q1. Indiquer sur le schéma, au-dessus de la lentille correspondante, la lentille qui joue le rôle d’objectif et celle qui joue le rôle d’oculaire.
 Q2. Citer la propriété caractéristique d’une lunette astronomique dite « afocale ». Donner la position du foyer objet F2 de la lentille L2 par rapport à celle du foyer image F1’ de la lentille L1 de cette lunette. Placer ces deux points sur le schéma.
Un faisceau de rayons incidents parallèles émerge de la lunette afocale en un faisceau de rayons parallèles.

Q3. Tracer sur le schéma la marche des rayons lumineux issus des points P1 et P2 de Mars : - à travers la lentille L1 en faisant apparaître les images intermédiaires P1’ et P2’, des points P1 et P2 ; - puis à travers la lentille L2 en faisant apparaître l’angle q ’ sous lequel la planète Mars est vue en sortie de la lunette.

On admet que le grossissement de la lunette astronomique afocale s’exprime par la relation : G = f1’/ f2
Q4. Calculer la valeur du grossissement G de la lunette utilisée.
f '1 = 900 mm ; f '2 = 20 mm ; G = 900 / 20 = 45.
 En janvier 2021, l’angle sous lequel la planète Mars est vue par un observateur terrestre à l’œil nu était de q = 4,9×10–5 rad. Cet observateur voit alors un point lumineux.
Q5. Justifier cette observation.
q est inférieur au pouvoir séparateur de l'oeil humain 2,9 10-4 rad.
 Q6. Indiquer ce qu’il observe en utilisant la lunette astronomique précédente. Justifier par un calcul.
q' = 45 x4,9 10-5 = 2,2 10-3 rad, valeur supérieure au pouvoir séparateur de l'oeil.
Il observe la planète Mars.

  

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2. Détermination du diamètre de Mars
À l’aide des mesures effectuées en début de chaque mois avec la lunette astronomique, on détermine l’angle q sous lequel la planète Mars est vue par un observateur terrestre à partir de janvier 2018. Lorsque Mars n’est pas visible, on utilise des données simulées. Les valeurs de l’angle θ sont représentées en fonction du temps t . La date t = 0 correspond au 1er janvier 2018.

Le schéma présenté montre les deux positions extrêmes de Mars par rapport à la Terre ainsi que les angles θ1 et θ2 sous lesquels la planète Mars est vue par un observateur terrestre pour ces deux positions.

Q7. Associer, en expliquant votre démarche, les angles
θ1 et θ2 sous lesquels la planète Mars est vue par un observateur terrestre aux points A et B. En déduire les valeurs de θ1 et θ2.
A : Mars et la Terre sont proches :q1 =1,20 10-4 rad.
B : Mars et la Terre sont éloignés :q2 =1,60 10-5 rad.
Q8. En utilisant la figure , montrer que l’expression du diamètre dM de la planète Mars s’exprime de la façon suivante :
 dM= 2 rSM /( 1/ q1 + 1/ q2 ).
q1 = dM / D1 ;
q2 = dM / D2 ; D1+D2 = 2 rSM.
dM / q1 +dM / q2 =2 rSM.
  dM= 2 rSM /( 1/ q1 + 1/ q2 ).
 Q9. Calculer la valeur du diamètre dM de la planète Mars. Commenter.
rSM = 2,28 108 km.
dM = 2 x 2,28 108 / (104 /1,2 +105/1,6)=6,44 103 km.
Valeur de référence 6,78 103 km.
Ecart relatif (6,78 -6,44) / 6,78 x100 =5 %.
Accord entre ces valeurs à 5 % près.

3. Détermination de la masse de Mars

La planète Mars, que l’on peut assimiler à une sphère de diamètre dM, possède une masse M environ dix fois moins grande que celle de la Terre. La masse M de Mars peut être déterminée par l’observation de Phobos, l’un des satellites naturels de la planète et par l’utilisation des lois de Newton. Ce satellite :
- a une période de révolution T de 7 h 39 min autour de Mars ;
 - possède une trajectoire quasi-circulaire autour de Mars de rayon r = 9,38×103 km ;
 - n’est soumis qu’à la seule force de gravitation de Mars.
 Q10. En utilisant une loi de Newton, établir que l’expression de la vitesse de Phobos sur son orbite circulaire autour de Mars est : v =( G·M/ r)½.


 Q11. Déterminer la valeur de la masse M de Mars. Commenter.
Période de Phobos autour de Mars : T =7 h 39 min.
Rayon de sa trajectoire : r = 9,38 103 km.
Troisième loi de Kepler : T2 / r3 = 4 p2 /(GM).
M =4 p2 r3 / (GT2).
T = 7 x3600 +39 x60 =2,75 104 s.
M = 4 x3,142 x(9,38 106)3 / (6,67 10-11 x(2,75 104)2) =6,46 1023 kg.
Masse de la Terre : 5,97 1024 kg.
Mars a une masse 10 fois moins grande que la Terre soit 5,97 1023 kg.
Ecart relatif : (6,46 -5,97) / 5,97 x100 ~ 8 %.
Acord entre ces valeurs à 8 % près.



  
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