Vol d'une mongolfière, bac Métropole 09 / 2021. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . .. .. ...... ... Les objectifs de cet exercice sont : - de déterminer la masse totale qu’il est possible d’embarquer dans la montgolfière ; - de trouver l’autonomie de vol maximale possible avec la montgolfière. On étudie dans cet exercice une enveloppe en nylon de modèle « M-77 » de 0,1 mm d’épaisseur, de volume V = 2 200 m3, à laquelle on accroche une nacelle de modèle « C-1 », de masse m = 56 kg. La nacelle est capable d’embarquer jusqu’à trois personnes ainsi que quatre bonbonnes pesant chacune 40 kg et contenant 20 kg de propane chacune. Données :  surface de l’enveloppe du ballon : S = 847 m2 ;  masse par unité de surface de l’enveloppe en nylon : rnylon = 65 g·m–2 ; constante du gaz parfait : R = 8,314 J·mol–1 ·K–1 ;  masse molaire de l’air : Mair = 29,0 g·mol–1. 1. Détermination de la masse totale qu’il est possible d’embarquer dans la montgolfière.  Au cours d’un vol, la montgolfière se trouve à une altitude de 1,5 km. On considère que la pression p à l’intérieur du ballon est égale à la pression à l’extérieur du ballon. La figure suivante présente l’évolution de la pression de l’air en fonction de l’altitude. L’air est considéré comme un gaz parfait. Le brûleur n’est pas actionné au moment où on étudie le système. 1.1. Étude du système « ballon ».  1.1.1. À l’aide de l’équation d’état du gaz parfait, exprimer la masse volumique de l’air contenu dans le ballon  en fonction de la pression P, Mair, R et T, la température de l’air contenu dans le ballon. PV = n R T ; n = mair / Mair ; rair = mair / V. PV = mair / Mair RT ; P = mair / V R T / Mair  = rair R T / Mair ; rair = P Mair / (RT). 1.1.2. Montrer que la valeur de la masse volumique de l’air contenu dans le ballon lorsque le ballon est à une altitude de 1,5 km est de l’ordre de 0,8 kg·m–3. On suppose que la température de l’air à l’intérieur du ballon à l’instant où on étudie le système est à 373 K. rair = 85 000 x29,0 10-3 /(8,314 x373) =0,795 ~0,8 kg·m–3.  1.2. Étude du système « montgolfière ».  On suit le déplacement du centre de masse G de la montgolfière. On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni d’un repère d’espace. L’origine au point O est au niveau du sol, au point de décollage de la montgolfière. On considère qu’il s’exerce seulement deux forces sur le système {montgolfière} composé de la nacelle, de son chargement et du ballon : - le poids P ; - la poussée d’Archimède qui modélise l’action de l’air sur le ballon : PA  = rext × V × g  où rext représente la masse volumique de l’air extérieur et V représente le volume total de la montgolfière, dont on considère qu’il est égal au volume du ballon. On considère que la masse d’air présente dans le ballon est constante et que la montgolfière, de masse totale m, reste immobile. À la température locale et à l’altitude du vol de 1,5 km, la masse volumique de l’air extérieur au ballon vaut 1,06 kg·m–3 tandis que la masse volumique de l’air à l’intérieur du ballon vaut 0,80 kg·m–3. 1.2.1. Représenter les deux forces s’exerçant sur la montgolfière dans le cas où elle est immobile dans le référentiel terrestre, sans souci d’échelle en utilisant le système d’axes de la figure. Justifier. La mongolfière est immobile : le poids et la poussée d'Archimède se compensent. Poids, verticale vers le bas ; poussée, verticale vers le haut.  1.2.2. Donner l’expression vectorielle du poids P de la montgolfière. 1.2.3. Établir l’expression vectorielle de la poussée d’Archimède PA . 1.2.4. En déduire la masse totale embarquée dans la nacelle à cette altitude. Commenter. P = PA ; rext × V = m . m = 1,06 x 2200 =2332 kg. Masse nacelle : 56 kg. Masse enveloppe : 847 x0,065 ~ 55 kg. Masse d'air contenue dans le ballon : 0,80 x 2200 =1760 kg. Masse embarquée : 2332 -56-1760 -55 ~461 kg. Cela correspond à : la masse des 4 bouteilles de gaz : 4 x(40+20) = 240 kg. et à la masse des trois personnes : 3 x70 = 210 kg. . ... .... 2. Détermination de l’autonomie maximale de vol de la montgolfière.  En réalité, la montgolfière ne reste pas à une altitude constante. Son altitude varie autour d’une altitude moyenne, au gré de l’actionnement du brûleur par le pilote. L’utilisation du brûleur est nécessaire pour maintenir une altitude moyenne constante. On considère que la montgolfière est en vol, stabilisée à une altitude moyenne de 1,5 km. La température extérieure est Text = 278 K au cours d’un vol. On cherche à établir le bilan énergétique entre le système {air à l’intérieur de l’enveloppe + enveloppe} et le milieu extérieur. 2.1. Nommer les trois modes de transferts thermiques. Caractériser qualitativement ces trois modes. Rayonnement ( du soleil dans l'espace), convection ( mouvement des molécules dans un fluide), conduction (échange avec contact).. La figure suivante présente les transferts thermiques qui ont lieu entre le système {ballon} et le milieu extérieur.  On rappelle que le ballon représente l’enveloppe en nylon et l’air contenu à l’intérieur. En régime stationnaire, la montgolfière est en équilibre thermique. 2.2. Etablir une relation littérale entre les flux thermiques impliqués pour le système lorsque la montgolfière est à l’équilibre thermique.  Une partie du transfert thermique a lieu sous forme de rayonnement de l’enveloppe vers le milieu extérieur. Le calcul du flux thermique rayonné se fait grâce à la relation de Stefan-Boltzmann : Pr = e· s·S·T4 e le coefficient d’émissivité constant sans unité, pour l’enveloppe du ballon : e= 0,87 ; s la constante de Stefan :  5,67 × 10–8 W·m–2·K–4; S la surface de l’enveloppe ; T la température de surface de l’enveloppe en K. De plus, les mouvements de l’air extérieur le long de l’enveloppe sont à l’origine d’un flux thermique transféré vers l’extérieur par un phénomène de conducto-convection que l’on peut calculer grâce à la relation suivante : J = DT / Rth J représente le flux thermique perdu par le système par conducto-convection en W ; DT représente la différence de température entre l’enveloppe et le milieu extérieur en K ; Rth représente la résistance thermique associée au flux thermique entre l’enveloppe et le milieu extérieur : Rth = 3,5×10–4 K·W–1. Pcomb +Pray reçue+Pr + J + Pouverture=0. Pcomb + e· s·S·T4 + Pr +DT / Rth + Pouverture=0. D’après l’étude, dans ces conditions, la température de l’enveloppe vaut T = 325 K, température intermédiaire entre celle de l’air à l’intérieur du ballon et celle de l’air à l’extérieur du ballon. 2.3. Calculer le flux thermique par rayonnement Pr émis par l’enveloppe vers le milieu extérieur. Pr = - e· s·S·T4 = 0,87 x 5,67 10-8 x 847 x 3254= -4,66 105 ~ -4,7 105 W.  2.4. Calculer le flux conducto-convectif. J = DT / Rth =(278-325) / (3,5 10-4) = -1,34 105 ~ -1,3 105 W.  2.5. En déduire que la valeur du flux thermique Pcomb associé à la combustion du propane en régime de croisière est de l’ordre de 4×105 W. Pcomb +Pray reçue+Pr + J + Pouverture=0. Pcomb = -Pray reçue -Pr - J - Pouverture. Pcomb = -1,9 105 +4,7 105 +1,3 105 +1,8 104 =4,3 105 W.  Le flux thermique associé à la combustion du propane n’est pas libéré de façon continue. En effet, la combustion du propane n’a lieu que lorsque le brûleur fonctionne. L’énergie de combustion massique du propane est : Ecomb = 46,4 MJ·kg–1. Le pilote actionne le brûleur pendant une durée t selon le fonctionnement décrit sur la figure suivante. Lorsque le brûleur est en fonctionnement, 68 grammes de propane sont brûlés chaque seconde.  2.6. Montrer que le flux thermique associé à la combustion du propane lorsque le brûleur est en fonctionnement est de l’ordre de 3×106 W. t =2 s. Masse de propane brulée : m = 68 x2 = 136 g = 0,136 kg. Pcomb = m Ecomb / t =0,136 x 46,4 / 2 ~3,2 MW = 3,2 106 W. 2.7. Dans les conditions de l’étude, déterminer la durée maximale de vol qu’il est possible de réaliser à l’aide du propane embarqué dans la montgolfière. Commenter. 0,136 kg de propane sont brûlés à chaque Tbrûleur. Masse de propane : 80 kg. 80 / 0,136 ~588. Durée du vol : 588 x Tbrûleur = 588 x  20 =11 764 s ou 3 h16 min Cette durée permet de survoler une région assez vaste.

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