Probabilités,
suites, fonctions, Bac Polynésie 30 /08 / 2022.
En
poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation
de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres
d’intérêts.
.
| . |
.
.
|
|
.
.
|
..
..
......
...
|
Probabilités (7 points)
Parmi les angines, un quart nécessite la prise d’antibiotiques, les
autres non.
Afin d’éviter de prescrire inutilement des antibiotiques, les médecins
disposent d’un test de
diagnostic ayant les caractéristiques suivantes :
• lorsque l’angine nécessite la prise d’antibiotiques, le test
est positif dans 90 % des cas ;
• lorsque l’angine ne nécessite pas la prise d’antibiotiques, le test
est négatif dans 95 %
des cas.
Les probabilités demandées dans la suite de l’exercice seront arrondies
à 10 −4 près si nécessaire.
Partie 1
Un patient atteint d’angine et ayant subi le test est choisi au hasard.
On considère les évènements suivants :
• A : « le patient est atteint d’une angine nécessitant la prise
d’antibiotiques »;
• T : « le test est positif » .
1. Calculer P(A ∩T
). On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
2. Démontrer que P(T ) =
0,2625.
3. On choisit un
patient ayant un test positif. Calculer la probabilité qu’il soit
atteint
d’une angine nécessitant la prise d’antibiotiques.
P T(A) = P(A ∩T )
/ P(T) =0,225 / 0,2625 ~0,8571.
4. a. Parmi les
évènements suivants, déterminer ceux qui correspondent à un résultat
erroné du test :
A ∩T : angine avec antibiotique et test positif, résultat
correct.
non A ∩ T : pas dangine et test positif, résultat erroné.
A ∩ non T : angine avec antibiotique et test négatif, résultat erroné.
non A ∩ non T : pas d'angine et test négatif, résultat correct.
b. On définit
l’évènement E : « le test fournit un résultat erroné ».
Démontrer que p(E) = 0,0625.
P(A ∩
nonT) + P(non A ∩ T)
=0,025 +0,0375 =0,0625.
Partie 2
On sélectionne au hasard un échantillon de n patients qui ont été
testés.
On admet que l’on peut assimiler ce choix d’échantillon à un tirage
avec remise.
On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de patients de cet
échantillon ayant un
test erroné.
1. On suppose que n
= 50.
a. Justifier que la
variable aléatoire X suit une loi binomiale B(n, p) de paramètres
n = 50 et p = 0,0625.
C'est
un schéma de bernoulli. : on répète 50 expériences aléatoires ayant
deux issues, identiques et indépendantes entre elles.
X
suit la loi binomiale de paramètre n = 50 et p =0,0625.
b. Calculer P(X = 7).
P(X=7) =0,0232.
c. Calculer la
probabilité qu’il y ait au moins un patient dans l’échantillon dont le
test est erroné.
1-P(X=0) = 1-0,03968 =0,9603.
2. Quelle valeur
minimale de la taille de l’échantillon faut-il choisir pour que P(X
> 10)
soit supérieure à 0,95 ?
P(X > 10) > 0,95.
P(X > 9) > 0,95.
n= 88.
|
...
|
....
|
Suites, fonctions ( 7 points )
Soit k un nombre réel.
On considère la suite (un) définie par son premier terme u0 et pour tout entier naturel n,
un+1 = kun (1−un).
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
On y étudie deux cas de figure selon les valeurs de k.
Partie 1
Dans cette partie, k = 1,9 et u0 = 0,1.
On a donc, pour tout entier naturel n, un+1 = 1,9un (1−un).
On considère la fonction f définie sur [0; 1] par f (x) = 1,9x(1− x).
a. Étudier les variations de f sur l’intervalle [0; 1].
On dérive en posant u = x et v = 1-x ; u' = 1 ; v' = -1.
u'v+v'u = 1-x-x =1-2x.
f '(x) = 0 si x =0,5.
f '(x) < 0 si x appartient à ]0,5 ; 1] et f(x) est décroissante.
f '(x) > 0 si x appartient à [0 ; 0,5[ et f(x) est croissante.
b. En déduire que si x ∈ [0 ; 1] alors f (x) ∈ [0 ; 1].
f(0) = 0 ; f(1) = 0 ; f(0,5) =0,475.
2. Ci-dessous sont représentés les premiers termes de la suite (un) construits à partir de
la courbe Cf de la fonction f et de la droite D d’équation y = x.
Conjecturer le sens de variation de la suite (un) et sa limite éventuelle
La suite est croissante, tend vers f(0,5)= 0,475.
3. a. En utilisant les résultats de la question 1, démontrer par récurrence que pour tout
entier naturel n :
0 < un < un+1 < 0,5
.
Initialisation : u0 = 0,1 ; u1 = 1,9u0 (1−u0)=1,9 *0,1 (1-0,1)= 0,171.
La propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : 0 < un < un+1 < 0,5 est supposée vraie.
Sur [0 ; 0,5] la fonction f étant croissante : f(0) < f(un) < f(un+1) < f(0,5).
0 < un+1 < un+2 < 0,475 < 0,5.
La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la proriété étant vraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.
b. En déduire que la suite (un) converge.
La suite étant croissante et bornée, elle converge.
c. Déterminer sa limite.
La suite converge vers f(0,5) = 0,475.
Partie 2.
Dans cette partie, k = 0,5
et u0 = 0,25
.
On a donc, pour tout entier naturel n, un+1 =
0,5un (1−un) et u0 = 0,25
.
On admet que pour tout entier naturel n : 0 < un < 0,5n
.
1. Démontrer que la suite (un) converge et déterminer sa limite.
un+1-un=0,5un (1−un) -un =0,5un -un-0,5 un2 = - 0,5un -0,5 un2 < 0.
La suite est décroissante.
0 < un < 0,5n
.
un+1 < 0,5 * 0,5n (1-
0,5n).
Quand n tend vers l'infini, 0,5 n tend vers zéro.
un+1 tend vers zéro.
La suite étant décroissante et bornée, elle converge.
2. On considère la fonction Python algo (p) où p désigne un entier naturel non nul :
def algo(p)
u = 0,25
n =0
while u >10**(-p) :
u = 0.5*u(1-u)
n = n+1
return n
Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel non nul p, la boucle while ne tourne pas
indéfiniment, ce qui permet à la commande algo (p) de renvoyer une valeur.
Par exemple pour p = 2.
n
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
u
|
0,25
|
0,09375
|
0,04248
|
0,02033
|
0,00996
|
u > 10-p
|
vrai
|
vrai
|
vrai
|
vrai
|
faux
|
u est décroissant et tend vers zéro.
Exercice 3. Fonction ( 7 points).
Partie 1.
Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0; + ∞[ par :
g(x) =
2ln(x)
/ x
.
1. On note g
′
la dérivée de g. Démontrer que pour tout réel x strictement positif :
g
′
(x) =
(2−2ln(x)) /
x
2
.
On pose u = 2ln(x) et v = x ; u' = 2 /x ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 = (2 -2ln(x) ) / x2 .
2. On dispose de ce tableau de variations de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[ :
Justifier les informations suivantes lues dans ce tableau :
a. la valeur 2
e.
b. les variations de la fonction g sur son ensemble de définition.
g'(x) a le signe de 1-ln(x).
Si 0 < x < e, g'(x) >0 et g(x) est croissante.
Si x > e, g'(x) < 0 et g(x) est décroissante.
Si x = e, g'(x) =0, g(x) présente un maximum g(e) = 2 ln(e) / e = 2 /e.
c. les limites de la fonction g aux bornes de son ensemble de définition.
Quand x tend vers zéro, ln(x) tend vers moins l'infini et g(x) tend vers moins l'infini.
Quand x tens vers plus l'infini, par croissance comparée ln(x) / x tend vers 0.
3. En déduire le tableau de signes de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
Quand x appartient à ]0 ; 1[, g(x) < 0 ; quand x appartient à ]1 ; +oo[, g(x) > 0.
Partie 2.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0; + ∞[ par
f (x) = [ln(x)]2
.
Dans cette partie, chaque étude est effectuée sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
1. Démontrer que sur l’intervalle ]0 ; +∞[, la fonction f est une primitive de la fonction
g.
u = ln(x) ; u' = 1 /x ; f = u2 ; f '(x) = 2 u u' = 2 ln(x) / x =g(x).
2. À l’aide de la partie 1, étudier :
a. la convexité de la fonction f ;
f '(x) =g(x) ; f "(x) = g'(x).
Si 0 < x < e, f "(x) >0 et f(x) est convexe.
Si x > e, f "(x) < 0 et f(x) est concave.
b. les variations de la fonction f.
Quand x appartient à ]0 ; 1[, g(x) < 0 ; f(x) est décroissante.
Quand x appartient à ]1 ; +oo[, g(x) > 0 ; f(x) est croissante.
Quand x = e; f(x) présente un minimum f(e) = 1.
3. a. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f
au point d’abscisse e.
f '(e)=g(e)=2 /e.
Equation de la tangente : y = 2x / e + cste.
f(e) = 1 ; 1 = 2 +Cste ; Cste = -1.
y = 2x /e-1.
b. En déduire que, pour tout réel x dans ]0 ; e] :
[ln(x)]2 >
2x / e −1.
Si 0 < x < e, f "(x) >0 et f(x) est convexe. La courbe représentative de f(x) est au dessus de ces tangentes.
La tangente en x = e a pour équation y = 2x /e-1.
Donc
[ln(x)]2 >
2x / e −1.
|
|