Mathématiques, probabilités, Bac Amérique du Nord 2022.

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Probabilités.
Chaque chaque jour où il travaille, Paul doit se rendre à la gare pour rejoindre son lieu de travail en train. Pour cela, il prend son vélo deux fois sur trois et, si il ne prend pas son vélo, il prend sa voiture.
1. Lorsqu’il prend son vélo pour rejoindre la gare, Paul ne rate le train qu’une fois sur 50 alors que, lorsqu’il prend sa voiture pour rejoindre la gare Paul rate son train une fois sur 10.
 On considère une journée au hasard lors de laquelle Paul sera à la gare pour prendre le train qui le conduira au travail.
 On note :
 V l’évènement « Paul prend son vélo pour rejoindre la gare »;
 R l’évènement « Paul rate son train ».
 a. Faire un arbre pondéré résumant la situation.
 b. Montrer que la probabilité que Paul rate son train est égale à 7 /150 .
 
c. Paul a raté son train. Déterminer la valeur exacte de la probabilité qu’il ait pris son vélo pour rejoindre la gare.
PR(V) =P(R n V) / P(R) =2 / 150 / (7 /150) = 2 /7.
 2. On choisit au hasard un mois pendant lequel Paul s’est rendu 20 jours à la gare pour rejoindre son lieu de travail selon les modalités décrites en préambule. On suppose que, pour chacun de ces 20 jours, le choix entre le vélo et la voiture est indépendant des choix des autres jours. On note X la variable aléatoire donnant le nombre de jours où Paul prend son vélo sur ces 20 jours.
 a. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire X. Préciser ses paramètres.
On répète 20 expériences identiques et indépendantes, n'ayant que deux issues.. Il s'agit donc d'un schéma de bernoulli.
X suit une loi binomiale de paramètre n=20 et p =2 /3.
 b. Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo exactement 10 jours sur ces 20 jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à 10−3 .
P(X=10 )= (2010)  x (2/3)10 x (1/3)10=0,054.
 c. Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo au moins 10 jours sur ces 20 jours pour se rendre à la gare ?
P(X>10 )= 1 -P(X <10) = 1-P(X < 9) =0,962.
 . d. En moyenne, combien de jours sur une période choisie au hasard de 20 jours pour se rendre à la gare, Paul prend-il son vélo ? On arrondira la réponse à l’entier.
Espérance E(X) =n p = 20 x2 /3 = 40 /3 ~13,3 soit 14 fois.
 3. Dans le cas où Paul se rend à la gare en voiture, on note T la variable aléatoire donnant le temps de trajet nécessaire pour se rendre à la gare. La durée du trajet est donnée en minutes, arrondie à la minute. La loi de probabilité de T est donnée par le tableau ci-dessous :
k (min)
 10
 11
 12
 13
 14
 15
 16
 17
 18
P(T=k)
 0,14
 0,13
 0,13
 0,12
 0,12
 0,11
 0,10
 0,08
 0,07
k x P(T=k)
 1,4
 1,43
 1,56
 1,56
 1,68
 1,65
 1,6
 1,36
 1,26
 Total =13,5
 Déterminer l’espérance de la variable aléatoire T et interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
Espérance : 13,5 .
Il met en moyenne 13,5 minutes pour se rendre  à la gare en voiture..

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 Probabilités.
Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée. La société dispose de deux points de location distinctes, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l’un où l’autre des deux points de location. On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l’ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B. D’après une étude statistique :
- Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu’il se trouve au point A le matin suivant est égale à 0,84;
 - Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu’il se trouve au point B le matin suivant est égale à 0,76.
 À l’ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l’autre moitié au point B.
 On considère un vélo de la société pris au hasard. Pour tout entier naturel non nul n, on définit les évènements suivants :
- An : « le vélo se trouve au point A le n-ième matin »
 - Bn : « le vélo se trouve au point B le n-ième matin ».
 Pour tout entier naturel non nul n, on note an la probabilité de l’évènement An et bn la probabilité de l’évènement Bn.
Ainsi a1 = 0,5 et b1 = 0,5.
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :

2. a. Calculer a2.
b. Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu’il se soit trouvé au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.
PA2(B1)=P(A2 n B1) / P(A2)=0,12 / 0,54 =0,222.
3. a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les n-ième et n +1-ième matins.
b. Justifier que pour tout entier naturel non nul n, an+1 = 0,6an +0,24.

4. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, an = 0,6−0,1×0,6n−1 .
Initialisation :a1 =0,6-0,1 x0,60=0,5. La propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : an = 0,6−0,1×0,6n−1 est suppopsée vraie.
an+1 = 0,24 +0,6 an.
an+1 = 0,24 +0,6 (0,6−0,1×0,6n−1 )
an+1 = 0,24 +0,36 −0,1×0,6n=0,6−0,1×0,6n−1 .
La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est vraie pour tout n entier naturel.
5. Déterminer la limite de la suite (an) et interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.
-1 < 0,6 < 1, donc 0,6n tend vers zéro si n tend vers l'infini.
an tend vers 0,60.
Au bout d'un temps assez long, la probabilité qu'un vélo soit à la station A est de 0,60.
 6. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que an > 0,599 et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.
0,6−0,1×0,6n−1 > 0,599.
0,6-0,599 > 0,1×0,6n−1 .
0,001 / 0,1 > 0,6n−1 .
0,01 > 0,6n−1 .
ln(0,01) > (n-1) ln(0,6)
n-1 > ln(0,01) / ln(0,6)
n-1 > 9,05 ; n > 10,05.
La probabilité qu'un vélo se trouve au point A est supérieure à 0,599 à partir du 11-ième jour.

QCM. Question 4
Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus. On tire successivement et avec remise 5 jetons du sac. La probabilité de tirer exactement 2 jetons jaunes, arrondie au milllième, est :
 a. 0,683 ; b. 0,346 ; c. 0,230 ; d. 0,165.
Schéma de Bernoulli ( 5 expériences aléatoire n'ayant que deux issues, identiques et indépendantes entre elles).
On note X la variable aléatoire  donnant le nombre de jetons jaunes tirés. X suit une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 20 /50 = 0,4.
p(X=2) =(52) x0,42 x(1-0,4)3 = 0,346.

Question 5
Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus. On tire successivement et avec remise 5 jetons du sac. La probabilité de tirer au moins un jeton jaune, arrondie au milllième, est :
 a. 0,078 ;  b. 0,259 ; c. 0,337 ; d. 0,922.
Même question que la question 4.
p(X > 1) = 1 -p(X=0) = 1-0,65 = 0,922.

Question 6
Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus. On réalise l’expérience aléatoire suivante : on tire successivement et avec remise cinq jetons du sac. On note le nombre de jetons jaunes obtenus après ces cinq tirages. Si on répète cette expérience aléatoire un très grand nombre de fois alors, en moyenne, le nombre de jetons jaunes est égal à :
 a. 0,4;  b. 1,2 ;  c. 2 ;  d. 2,5.
Espérance d'une loi binomiale E = n p = 5 x0,4 = 2.

  
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