Chute d'une goutte d'eau,
 concours ENAC pilote 2019.

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Une gouttelette d’eau sphérique, de masse m et de diamètre D, tombe dans l’air en étant soumise à trois forces de direction verticale : son poids, la poussée d’Archimède F et une force de frottement visqueux due à l’air , où v est lar vitesse de la gouttelette, dans le référentiel terrestre R supposé galiléen, et a = 3 p h D, h étant un paramètre caractéristique de l’air appelé viscosité. On précise qu’il n’est pas nécessaire de connaître cette grandeur pour résoudre le problème posé.  On donne la masse volumique de l’eau liquide, re ≈ 1000 kg. m-3, et celle de l’air, ra ≈ 1 kg. m-3 .
1. À l’aide d’une analyse dimensionnelle, déterminer l’unité SI (Système International) de h.
A) kg m s. B) kg m-1 s. C) kg m s-1  D) kg m-1 s-1. Vrai.
 a s'exprime en N m-1 s soit en kg m s-2 m-1 s= kg s-1.
a s'exprime en kg s-1 m-1.

2. On néglige la poussée d’Archimède devant les deux autres forces. Quelle est, sous forme vectorielle, l’équation différentielle du premier ordre qui décrit le mouvement de la gouttelette dans R ?

Réponse C.

  3.  La poussée d’Archimède étant toujours négligée, quelle est, dans R, l’expression de la vitesse sachant que la vitesse initiale de la gouttelette est nulle ?
On choisit un axe vertical orienté vers le bas. L'origine est la position initiale de la goutte.
Solution générale de l'équation différentielle sans second membre : v = A exp(-t / t) avec A une constante.
Solution particulière de l'équation avec second membre : v = vlimite = gt = mg / a.
Solution générale de cette équation : v = A exp(-t / t) + gt .
A l'instant initial, la vitesse est nulle : 0=A+gt soit A = -gt.
Par suite : v =gt (1-exp(-t / t)).
Réponse C.

  4. On s’intéresse maintenant au vecteur position de la gouttelette. La poussée d’Archimède étant toujours négligée, déterminer r(𝑡) sachant que la position initiale de la gouttelette est nulle.
Le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse.
r (t)=gt (t +t exp(-t / t))+ Cste.
La position initiale est nulle : r (0)=gt (0 +t exp(-0 / t))+ Cste.
0 =g t2+ Cste ; Cste = -g t2 .
r(t) = gt  t +g t2 exp(-t / t)-g t2 .
r(t) = gt  t +g t2 (exp(-t / t)-1)
Réponse C.

  5. Exprimer, en fonction de D, h, re et g, la vitesse limite vlim de la gouttelette, puis calculer sa valeur approximative.
On donne D = 10 µm, h ≈ 2 × 10-5 SI (SI = Système International des unités) et g ~ 10 m s-2.
vlim = gt = mg / a avec m = 4 / 3 p (½D)3 re.
a = 3 p h D.
vlim = 4 / 3 p (½D)3 re g / (3 p h D).
vlim D2 re g / (18  h ).
vlim =10-10 x 103 x 10 / (36 10-5) = 0,1 /36 ~0,0028 m /s = 2,8 mm /s.
Réponse A.

6. On s’intéresse désormais à l’influence de la poussée d’Archimède sur la valeur de vlim . Quel est l’écart relatif , en pourcentage, entre la vitesse limite vlim A obtenue en tenant compte de la poussée d’Archimède et la vitesse vlim obtenue précédemment ?
Volume de la goutte : V =4 / 3 p (½D)3.
Poussée d'Archimède : V ra g, verticale vers le haut.
L'équation différentielle devient : dv/dt + v / t =g -
V ra g / m =g - ra  / re g.
vlim A = g(1-
ra  / re ) t  ; vlim = gt ;
|vlim A -vlim|=ra  / re g t.
|vlim A -vlim| / vlim A= ra  / [ re(1-ra  / re )].
1 / [1000 (1-10-3)]~0,001 ou 0,1 %.
Réponse B.





  
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