Physique, capteur capacitif de niveau d'eau, concours Geipi Polytech 2022.

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Une cuve de récupération d’eau de pluie est équipée d’un capteur capacitif de niveau d’eau : la cuve parallélépipédique est munie, sur l’extérieur de deux de ses faces verticales, de plaques métalliques qui constituent les électrodes d’un condensateur plan. La cuve ainsi que l’air et l’eau qu’elle contient jouent le rôle de l’isolant entre les électrodes et l’on peut considérer que la capacité C du condensateur est proportionnelle au volume d’eau V présent dans la cuve : V = A × C (A : coefficient constant). Ainsi, une fois ce composant inséré dans un circuit électronique adéquat, il est possible de déterminer et de faire afficher sur un écran de contrôle le volume d’eau présent dans la cuve, mais il faut pour cela connaître la valeur du coefficient A. On souhaite la déterminer à partir d’une mesure de la capacité du condensateur, notée C1 lorsque la cuve contient un volume d’eau V1=235 litres.
Le circuit électrique ci-dessous permet de charger et de décharger le condensateur. Le générateur fournit une tension constante E = 12 V et la résistance vaut R=9,5 kW. On note +q(t) et -q(t) les charges opposées portées par les deux armatures, et i(t) l’intensité du courant qui traverse le condensateur à l’instant t.

 III-1- Donner l’expression de i(t) en fonction de q(t).
i = dq(t) / dt.
 III-2- Quelle relation lie uc(t), C1 et q(t) ?
q(t) = C1 uc(t).
Le condensateur étant initialement déchargé, l’interrupteur K est basculé en position 1 à l’instant t = 0.
 On introduit la grandeur t = R × C1.
III-3- Choisir la réponse correcte correspondant à l’équation différentielle vérifiée par uc(t).
Additivité des tensions : E = Ri(t) + uc(t).
i = dq(t) /dt = C1duc(t) /dt.
E = RC1duc(t) /dt + uc(t).
duc(t) /dt +1 / t  uc(t) = E / t.

 III-4- Si R est exprimée en ohm, et C1 en farad, quelle est l’unité de t ?
t a la dimension d'un temps, il s'exprime en seconde.
III-5- Parmi les courbes proposées, laquelle correspond à l’évolution théorique de uc(t) lors de la charge complète du condensateur ?

 III-6- Quelle valeur maximale Uc,max est atteinte par la tension uc(t) à la fin d’une charge complète du condensateur ?
Uc,max = E.
 Pour des raisons pratiques, la charge ayant été interrompue avant d’être complète, on préfère déterminer C1 lors de la décharge du condensateur. L’interrupteur est basculé en position 2, et l’on associe désormais à cet instant la nouvelle origine des temps t = 0. L’évolution obtenue pour uc(t) est représentée.
 III-7- Déterminer la valeur de t exp = RC1 d’après le tracé en utilisant la méthode de votre choix. Expliquer le raisonnement suivi et faire apparaître sur le tracé les éléments graphiques utilisés.

 III-8- En déduire l’expression puis la valeur du coefficient A en litre par nanofarad qui servira à paramétrer le capteur pour afficher le volume d’eau V = A×C .
t =4 = RC1 =9,5 103 C1.
C1 = 4 / (9,5 103) =4,2 10-4 F= 4,2 105 nF.
V1 = A × C1 = 235 litres.
A = 235 /(4,2 105)=5,6 10-4 litre par nanofarad.



  
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