Mathématiques.
Concours ingénieur territorial 2023.
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Exercice 1. 3 points.
Pour x et y des nombres réels, on pose f(x, y) = ln(x 2+y 2) +y 2-x 2.
1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f.
x 2 + y 2 >0 soit x et y différent de zéro. I = R -{0 }.
2. Déterminer la dérivée partielle df / dx.
df /dx = 2x / (x 2+y 2)-2x.
3. Déterminer la dérivée partielle df / dy.
df /dy = 2y / (x2+y2)+2y.
4. Pour quelle(s) valeur(s) du réel a f est une solution de l'équation : x df /dy -y df /dx = a xy.
x (2y / (x2+y2)+2y)-y(2x / (x2+y2)-2x)= a xy.
2xy / (x2+y2)+2xy -2xy / (x2+y2)+2xy = a xy.
4 xy = a xy.
a = 4.
Exercice 2 (2.5 points)
Lors de l’écoulement laminaire d’un fluide dans une conduite neuve, de
section circulaire, la répartition de la vitesse v d’écoulement des
particules satisfait à la relation :
v = 10−6DP / (4h l) (R2 − r2)
avec :
DP = perte de charge sur la longueur de conduite en Pa,
l = longueur de la conduite en m,
R = rayon du tube en mm,
h = coefficient de viscosité dynamique du fluide,
r = distance par rapport à l’axe du tube en mm,
v = vitesse du fluide à une distance r de l’axe du tube en m/s.
Les résultats numériques des calculs seront arrondis à 3 chiffres significatifs après la virgule.
1. Exprimer la vitesse v en fonction de la distance r, pour un tube de rayon R = 7,5 mm, dans les conditions suivantes :
DP = 15 000 Pa ; l= 1 m ; h= 0.036.
v = 10−6x 15 000 / (4x0,036 ) (7,52 − r2) = 0,10416 (7,52 − r2) ~ -0,104r2+5,86.
2. On considère la fonction g définie sur l’intervalle [0, 7.5] par : g(x) = −0, 104x2 + 5, 86.
a. Déterminer une primitive G de la fonction g sur l’intervalle [0, 7.5].
G(x) = -0,104 / 3 x3 +5,86 x.
G(x) = -0,0347x3 +5,86 x.
b. Calculer l'intégrale suivante :
I = [-0,0347x3 +5,86 x]0 7,5 = -0,0347 *7,53 +5,86 *7,5 -0 = -14,64 +43,95 =29,31.
c. La vitesse moyenne d’écoulement dans ce tube est donnée en m/s par la formule :
Calculer cette vitesse moyenne.
29,31 / 7,5 =3,91 m /s.
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Exercice 3. ( 4,5 points).
On considère les matrices suivantes :
1. Calculer P2. En déduire que P est inversible et donner P−1.
1 *(-1) -1*1 = -2, différent de zéro, donc P est inversible.
2.a Vérifier que A2 − 2A = 02 (matrice nulle de taille 2 × 2).
b. Soit l une valeur propre de A et X un vecteur propre associé. On a donc AX = lX
et X différent de la matrice nulle (0 0)
. Vérifier que l2 − 2l = 0 (on pourra commencer par montrer que A2X = l2X).
En déduire les valeurs propres potentielles de A.
3. Montrer que U =(1 1) et V =(1 -1) sont des vecteurs propres de A (préciser les valeurs propres associés).
Les valeurs propres de A sont les racines du polynôme caractéristique :
l =2 et l = 0.
4. Justifier que P−1AP = C.
5. En remarquant que B = I2 + A et D = I2 + C en déduire que P−1BP = D.
On admet dans la suite que pour tout entier naturel n on a P−1BnP = Dn.
On pourra utiliser ce résultat sans démonstration.
6. Donner les coefficients de la matrice Dn.
7. Conclure que 
PP−1BnP =BnP= PDn.
BnPP−1=Bn= PDnP−1.
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