Dans les moteurs à combustion, on minimise les frottements entre les pièces mécaniques en utilisant des huiles afin d'obtenir un frottement visqueux. Plus une huile est épaisse, plus sa viscosité est élevée. On souhaite déterminer expérimentalement la viscosité d'une huile moteur. Pour cela on filme la chute verticale d'une balle dans cette huile moteur avec une caméra numérique. L'exploitation du film avec un ordinateur permet de déterminer les valeurs de vitesse de la balle en fonction du temps. On obtient le graphe suivant :

1. Validité de la modélisation de la force de frottement
   Pour étudier le mouvement de la balle, on se place dans le référentiel du laboratoire. On prendra l'axe vertical Oz dirigé vers le bas. Les caractéristiques de la balle sont : masse m = 35,0 g ; rayon R = 2,00 cm ; volume V = 33,5 cm³ . La masse volumique de l'huile est r_huile = 0,910 g.cm^-3 .
   On suppose que la force de frottement s'exprime sous la forme f = - kv ( les vecteurs sont écrits en bleu et en gras)où est la vitesse du centre d'inertie de la balle. On appellera v_G la composante de la vitesse suivant l'axe Oz.
   - Faire l'inventaire des forces extérieures appliquées à la balle en chute libre verticale dans l'huile, puis les représenter sur un schéma.
   - En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle du mouvement de la balle dans le référentiel du laboratoire.
   - Montrer que dv_G/dt peut se mettre sous la forme : dv_G/dt = A - B×v_G. avec A = g×(1 -r_huileV/m ) et B = k/m .
   -Vérifier que la constante A = 1,27 S.I. en précisant son unité. On donne la valeur du champ de pesanteur g = 9,81 m.s^-2 .
   - Le mouvement de chute de la balle présente deux régimes visibles sur la représentation graphique v_G = f(t) donnée. 1. * Séparer, sur le graphe par un axe vertical les domaines des deux régimes. On précisera le domaine du régime permanent et le domaine du régime transitoire du mouvement de la balle.
   * Relever la valeur de la vitesse limite vlim sur la représentation graphique v_G = f(t).
   * Que vaut l'accélération de la balle quand celle-ci atteint la vitesse limite ?
   - Connaissant la constante A donnée et la constante B = 7,5 s^-1, la méthode d'Euler permet d'estimer par le calcul la valeur de la vitesse de la balle en fonction du temps en utilisant les deux relations :
   dv_G(t_i)/dt = A - B×v_G(t_i) et v_G(t_i+1) = v_G(t_i) + dv_G(t_i)/dt Dt où D t est le pas d'itération.
   Nous obtenons le tableau de valeurs suivant :

   t(s)	0	0,080	0,16	0,24	0,32	0,40	0,48	0,56
   dvG/dt (m/s²)	?	0,51	0,20	?	0,03	0,02	0	0
   vG (m/s)	0	0,102	0,143	?	0,165	0,167	0,169	0,169

   * Quel est le pas d'itération de la méthode d'Euler proposée ?
   * Que vaut l'accélération à l'instant t = 0 s ?
   * En utilisant la méthode d'Euler calculer la valeur de la vitesse à l'instant t = 0,24 s ; en déduire la valeur de l'accélération à l'instant t = 0,24 s.
   * Placer sur la représentation v_G = f(t) les valeurs des vitesses obtenues par la méthode d'Euler et tracer la courbe passant par ces points.
   - Sur quel paramètre peut-on agir pour améliorer la résolution de l'équation différentielle par la méthode d'Euler ? En comparant la courbe obtenue par la méthode d'Euler et les points expérimentaux, la modélisation de la force de frottement de l'huile sur la balle f= - k× v est-elle valide ? Justifier votre réponse.
2. Détermination de la viscosité de l'huile moteur
   Pour des vitesses faibles, la formule de Stokes permet de modéliser la force de frottement fluide agissant sur un corps sphérique en fonction de la viscosité h de l'huile, du rayon de la balle R et de la vitesse de déplacement v_G de la balle telle que : f= - 6 ph R v_G avec h en Pa.s, R en m et v_G en m.s^-1 .
   - En vous aidant de l'expression de B donnée à la question 1.3 et de l'hypothèse f = - k×v_G , exprimer la viscosité h en fonction de B, m et R.
   - Calculer la viscosité h de l'huile étudiée.
   À l'aide des valeurs de viscosité données ci-dessous, identifier l'huile de moteur étudiée.

   	Huile moteur à 20°C
   	SAE 10	SAE 30	SAE 50
   h(Pa.s)	0,088	0,290	0,700

1. Cinétique de la saponification du méthanoate d'éthyle
   On étudie la cinétique de la réaction d'hydrolyse basique d'un ester, le méthanoate d'éthyle par la mesure de la conductance du mélange de méthanoate d'éthyle et de solution d'hydroxyde de sodium NaOH (ou soude) en fonction du temps.
   Protocole expérimental :
   On verse dans un becher une solution d'hydroxyde de sodium (ou soude) de concentration C₀ = 1,00.10 ^-2 mol.dm^-3.
   On plonge la cellule conductimétrique dans la solution et on met en marche l'agitation.
   On mesure la conductance initiale G₀ à un instant que l'on désigne par t₀.
   On ajoute alors rapidement le méthanoate d'éthyle, en quantité égale à celle de la soude initiale.
   On mesure la conductance de la solution en fonction du temps. Les mesures sont reportées dans le tableau :

   t (min)	0	3	6	9	12	15	45	fin
   G(mS)	?	2,16	1,97	1,84	1,75	1,68	1,2	1,05
   Avancement x (mmol)	0	0,46	0,72	0,90	1,0	1,10	1,70	2,00

   L'équation de la réaction étudiée est :HCO₂ - CH₂ - CH₃ + HO^- = HCO₂^- + CH₃ - CH₂ - OH
   À un instant t la conductance du mélange est donnée par la relation :
   G = k( l_Na+ [Na+] + l_HO- [HO-] + l_HCO2- [HCO₂^-] ) avec k la constante de cellule, k = S/l = 0,01 m et l la conductivité molaire ionique.
   Les conductivités molaires ioniques de quelques ions à 25°C sont données dans le tableau ci-dessous :

   ion	Na+(aq)	HO-(aq)	HCO2- (aq)
   l en S.m².mol-1	5,01 10-3	19,9 10-3	5,46 10-3

   Remarques : Le volume de méthanoate d'éthyle est négligeable devant le volume V d'hydroxyde de sodium. Le volume du mélange est égal à 200 cm³ et la concentration C₀ = 1,00.10 ^-2 mol.dm^-3. La solution d'hydroxyde de sodium étant nettement basique on négligera la présence des ions H₃O⁺ devant les autres ions du mélange réactionnel.
   Soient n₀ la quantité de matière initiale d'ions hydroxyde et d'ions sodium et n₀ la quantité de matière initiale de méthanoate d'éthyle.
   - On considère la solution d'hydroxyde de sodium de volume V à l'instant t₀. Donner la concentration des ions dans cette solution à cet instant. Montrer que la conductance G₀ peut s'écrire : G₀ = k n₀ /V (l_Na+ + l_HO- ) (1) En utilisant les unités conventionnelles du Système International, calculer la valeur de G₀.
   - On note x, l'avancement de la réaction à un instant t. Etablir le tableau d'avancement.
   - On étudie la conductance de la solution en fonction du temps. Montrer que la conductance du mélange à un instant t en fonction des quantités de matière initiales et de l'avancement x peut s'écrire :
   G_i = S/l [ l_Na+ n₀ + l_HO- (n₀ - x) + l_HCO2- x ] (2)
   - On veut montrer que la mesure de la conductance G_i permet de connaître l'avancement x en établissant une relation simple entre G_i et x. Simplifier l'expression (2) pour montrer qu'on peut écrire G_i sous la forme G_i = a x + b (3), a et b étant des constantes qui contiennent les conductivités molaires ioniques et les quantités de matière initiales n₀.
   * À quelle grandeur correspond le coefficient b ? Quel est le signe de la constante a ?
   * Quelle serait l'allure de la représentation graphique G_i en fonction de x (relation (3)) ?
   - La relation (3) a permis de calculer les valeurs de l'avancement x qui sont indiquées dans le tableau précédent. Tracer la courbe donnant les variations de x en fonction du temps. On prendra comme échelle en abscisse 1 cm pour 3 min et en ordonnée 1 cm pour 0,20 mmol.
   - Donner la définition de la vitesse volumique de la réaction et préciser comment on la déterminerait à un instant t.
   * Comment varie la vitesse de la réaction étudiée ?
   * Définir le temps de demi-réaction. Évaluer graphiquement ce temps.
2. Quelques réactions de saponification
   L'hydrolyse basique des esters est utilisée dans l'industrie pour préparer des alcools à partir des substances naturelles. Elle connaît aussi des applications dans le domaine médical mais la principale reste toutefois la fabrication des savons. Le palmitate d'hexadécyle est le principal constituant du blanc de baleine (cire animale). Berthelot préparait l'alcool cétylique (hexadécanol) par saponification du blanc de baleine. Au cours de cette réaction, il se forme aussi le palmitate de sodium de formule CH₃-(CH₂)₁₄-COONa.
   Certains fils de suture utilisés en chirurgie sont des polyesters de l'acide lactique. Leur hydrolyse dans l'organisme permet de les résorber sans danger car l'hydrolyse redonne l'acide lactique CH₃-CH(OH)-CO₂H.
   - Reconnaître et nommer dans chacun des composés ci-dessous les fonctions organiques.

   hexadécanol	acide lactique	palmitate d'hexadécyle
   C15H31CH2OH	CH3-CH(OH)-CO2H.	CH3-(CH2)14-COO-(CH2)15-CH3

   - On réalise la réaction de saponification du palmitate d'hexadécyle.
   * Montrer que la réaction conduit à la formation du palmitate de sodium : CH₃-(CH₂)₁₄-COONa.
   * Définir les termes hydrophile et hydrophobe. Indiquer les parties hydrophile et hydrophobe dans la formule de l'ion CH₃-(CH₂)₁₄-COO^-

Un groupe d'élèves musiciens souhaite réaliser un diapason électronique capable d'émettre des sons purs, en particulier la note la₃ (note la du troisième octave). Cette note sert de référence aux musiciens pour accorder leurs instruments. Un son pur est une onde acoustique sinusoïdale de fréquence donnée. Il peut être obtenu par excitation d'un haut-parleur à l'aide d'une tension électrique sinusoïdale de même fréquence.

Le circuit électrique qui permet d'obtenir une tension sinusoïdale est constitué d'une bobine, d'un condensateur et d'une résistance

E= 12 V ; G générateur de tension constante R= 1000 W. C= 1 m F L inductance réglable et r négligeable

Les élèves vont réaliser les différentes étapes du circuit oscillant permettant d'émettre les sons de la gamme tempérée (gamme musicale élaborée par J.S. Bach et couramment utilisée en Occident). Ils étudieront :

· dans un premier temps, la charge du condensateur.

· dans un deuxième temps, l'établissement des oscillations électriques.

· dans un troisième temps, l'influence des paramètres du circuit leur permettant d'obtenir la note souhaitée.

note	do	ré	mi	fa	sol	la	si
fréquence (Hz)	262	294	330	349	392	440	494

1. Charge du condensateur :Le condensateur étant initialement déchargé, l'interrupteur K est basculé en position 1, à l'instant t = 0. Le sens positif de circulation du courant est indiqué sur le schéma. On visualise la charge du condensateur, à l'aide d'un oscilloscope à mémoire.
   - Représenter, sur le schéma, la tension u aux bornes du condensateur par une flèche correctement orientée, en respectant la convention récepteur.
   -Ajouter, sur le schéma précédent, les connexions à l'oscilloscope permettant de visualiser à la fois : sur la voie 1 : la tension E positive, aux bornes du générateur. sur la voie 2 : la tension u, en convention récepteur, aux bornes du condensateur.
   - Soient A et B, les armatures du condensateur. Donner la relation entre la charge q_A de l'armature A, l'intensité i et le temps t.
   - Donner la relation entre la charge q_A , la tension u et la capacité C.
   - En vous aidant des réponses aux questions précédentes et en appliquant la loi d'additivité des tensions, établir l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension u aux bornes du condensateur, lors de sa charge.
   Vérifier que la solution suivante u= E(1-exp(-t/(RC)) est solution de l'équation différentielle établie précédemment.
   - Constante de temps t. Rappeler l'expression de la constante de temps t de ce circuit, en fonction de R et de C.
   * Vérifier que la constante t est homogène à une durée, en utilisant l'équation différentielle précédemment établie ou sa solution.
   * Déterminer graphiquement la valeur de t, en justifiant la méthode employée.

   * Au bout de combien de temps, exprimé en fonction de t , considère-t-on le condensateur totalement chargé ?

2. Réalisation d'oscillations électriques : Le condensateur C est à présent chargé sous la tension E du générateur ; on bascule l'interrupteur K en position 2. Cet instant est choisi comme nouvelle origine des temps. La tension u aux bornes du condensateur évolue en fonction du temps de la manière suivante.

   - Les oscillations électriques observées sont amorties. Quel est le dipôle responsable de cet amortissement ? Qualifier ce régime d'oscillations par un terme approprié.
   -Sur la courbe u = f(t) présentée, sont notés deux points C et D. Comment appelle-t-on la durée écoulée entre ces deux points ? Évaluer graphiquement cette valeur.
   -Les élèves pensent que le circuit ainsi réalisé n'est pas utilisable. Indiquer la raison qui leur permet de faire cette constatation.

3. Entretien des oscillations :En feuilletant leur manuel de physique, les élèves constatent qu'il est possible de rajouter au circuit précédent, un dispositif qui entretient les oscillations. Expliquer, en une phrase, le rôle de ce dispositif, d'un point de vue énergétique.
   - Sachant que les paramètres du circuit précédent n'ont pas été modifiés, représenter,, la courbe u = f(t) obtenue après entretien des oscillations.
   - Rappeler l'expression de la période propre T₀ du circuit oscillant. Calculer sa valeur, sachant que le condensateur a une capacité C = 1,0 µF et que l'inductance L de la bobine vaut ici 0,100 H.
   - En déduire la fréquence f₀ de la tension obtenue.
   -Le circuit oscillant est relié à un haut-parleur convertissant cette onde électrique en onde sonore de fréquence f0. Les élèves souhaitent accorder leurs instruments en émettant la note la₃ à l'aide du circuit précédent. La fréquence précédemment obtenue est-elle un son de l'octave 3 de la gamme ?
   * Quels paramètres peut-on changer pour modifier la valeur de la fréquence émise ?
   * Sachant que les élèves ne disposent pas d'autre condensateur que celui du circuit initial, calculer la valeur de l'autre paramètre qui permettra d'obtenir la note la₃ .
   * On règle à présent ce paramètre sur 232 mH ; déterminer la nature de la note alors émise par le diapason.

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corrigé

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dq_A/dt = i ; q_A= C u soit i= Cdu/dt = C u'

u+Ri = E ; u + RC u'= E (1)

u= E(1-exp(-t/(RC)) ; dériver par rapport au temps u'= E/(RC) exp(-t/(RC)

repport dans (1) : E-E exp(-t/(RC)) + RC E/ (RC) exp(-t/(RC) = E toujours vérifier quel que soit t

en conséquence la fonction u= E(1-exp(-t/(RC)) est solution de l'équation différentielle (1).

constante de temps t= RC ; l'expression (-t/(RC), contenue dans l'exponentielle doit être sans dimension; en conséquence RC a la dimension d'un temps.

t voisin 10^-3 s.

La charge du condensateur est terminée au delà de t= 5t

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Le résistor est responsable de l'amortissement. Le régime est pseudo-périodique

La durée écoulée entre les points C et D est une période T = 2 10^-3 s ( lecture graphe entre 2 maxima suxccessifs)

Le circuit ainsi réalisé n'est pas utilisable du fait de l'amortissement : période T proche de T₀( régime périodique) et diminution de l'amplitude.

entretenir les oscillations, c'est compenser à chaque instant, l'énergie perdue par effet joule dans le résistor.

T₀= 2p(LC)^½= 6,28 ( 10^-6*0,1)^½=1,99 10^-3 s.

fréquence, inverse de la période exprimée en seconde : f₀ =1/1,99 10^-3= 503,5 Hz.

La fréquence du la₃ est 440 Hz : le son obtenu n'est pas celui du la₃.

On modifie la valeur de l'inductance L de la bobine :

nouvelle période T= 1/440 s; T²= 4p² LC soit L= T²/( 4p² C)=1/(440^2*4*3,14²*10^-6)= 0,131 H.

si L= 0,232 H alors la période vaut : 2*3,14*(0,232 10^-6)^½= 0,003 s

fréquence : 330 Hz (mi) .

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