rd'après concours Geipi 2005 culture générale - sons - dipôle (RL) -circuit RC et moteur - esterification- gravitation

d'après concours Geipi 2005

culture générale - sons - dipôle (RL) -circuit RC et moteur - esterification- gravitation - radioactivité- dipole LC ; métronome

Quelle est approximativement la masse volumique moyenne du corps humain ?
Une prise électrique est connectée aux trois fils du réseau électrique, un bleu, un rouge et un bicolore jaune et vert. Quelles sont les couleurs de la phase, du neutre, du fil de terre.
Pour une installation électrique en bon fonctionnement quelle est la tension efficace entre la phase et le neutre ?
- Quelle est la tension efficace entre le neutre et la terre ?
La Russie a ratifié le protocole de Kyoto en novembre 2004. Cet accord engage ses signataires à diminuer la production de différents gaz responsables de l’effet de serre. Citer deux de ces gaz :
Compléter la phrase suivante : La poussée d' ......... est une force verticale et ascendante dont la norme est égale au poids du ............ déplacé.
Quels sont les deux pays postulants à l’accueil du projet international ITER concernant la fusion nucléaire ?
Allemagne Chine Etat Unis France Japon Russie
Dans la liste suivante, quels sont les matériaux qui ne contiennent pas l'élément carbone :
PVC bronze plexiglas laiton graphite quartz Aluminium nylon acier

corrigé

1000 kg/m³ ( le corps est composé essentiellement d'eau)

phase : rouge ; neutre : bleu ; fil de terre : jaune et vert

tension efficace entre la phase et le neutre : 230 V

tension efficace entre le neutre et la terre : 0 V

gaz à effet de serre : CO₂ et méthane ou encore NO₂.

La pousséed' Archimède est une force verticale et ascendante dont la norme est égale au poids du fluide déplacé.

projet international ITER concernant la fusion nucléaire : France Japon

bronze, laiton, quartz, Aluminium ne contiennent pas l'élément carbone

sujet 2

Un émetteur émet des ondes acoustiques de façon continue. Deux récepteurs, disposés sur le trajet des ondes et distants de D = 36 mm, permettent d’enregistrer le signal émis et de le visualiser sur l’écran d’un oscilloscope. Le dispositif expérimental est schématisé ci-dessous.

On observe à l’oscilloscope le signal reçu par le récepteur 1 ; il est reproduit ci-dessous, la vitesse de balayage V_b étant de 50 µs / div :

On rappelle que la célérité des ondes acoustiques dans l’air dans les conditions atmosphériques moyennes est c = 340 m.s^-1.

Déterminer la fréquence des ondes utilisées dans cette expérience.
Quelle est la nature des ondes utilisées dans cette expérience ?
Déterminer leur longueur d’onde l .
Représenter sur la figure représentant l’écran de l’oscilloscope le signal reçu par le deuxième détecteur (on considérera que l’amplitude du signal est la même au niveau des deux récepteurs).
Que se passe-t-il si l’on ajoute les deux signaux reçus par les deux détecteurs ?
Les deux récepteurs sont maintenant disposés parallèlement côte à côte, espacés d’une distance L = 60 mm. L’émetteur est placé à grande distance dans une direction inclinée d’un angle q. par rapport à l’axe des récepteurs (voir figure ci-dessous).
- Quelle est la différence de trajet d entre les signaux reçus par les deux détecteurs ?
- Quelle relation l’angle q doit-il vérifier pour que la somme des deux signaux puisse être nulle ?
- En déduire pour quelle valeur de l’angle la somme des deux signaux peut être nulle.

corrigé

période: 4,3 divisions soit 4,3*5010^-6 = 2,15 10^-4 s ; fréquence f= 1/ 2,15 10^-4 = 4,65 kHz, sons aigus

longueur d'onde l = c/ f = 340/4650 = 7,3 10^-2 m = 7,3 cm.

la distance des deux récepteurs est très proche d'une demi-longueur d'onde, en conséquence les récepteurs sont en opposition de phase.

si l’on ajoute les deux signaux reçus par les deux détecteurs on obtient un signal d'amplitude nulle.

différence de trajet d entre les signaux reçus par les deux détecteurs d = L sin q.

la somme des deux signaux est nulle si d est un multiple impaire de la demi longueur d'onde : d = L sin q = ½(2k+1)l.

si k= 1 alors sin q = l /(2L) = 73 / ( 2*60) =0,608 et q =0,65 rad.

sujet 3 :

On utilise le montage ci-dessous comportant une résistance R, un condensateur déchargé C et un moteur M. Cemoteur peut entraîner une poulie permettant de soulever, à l’aide d’un fil, une masse m sur une hauteur h.

L’interrupteur K étant ouvert, on applique entre les bornes A et B la tension u_AB dont l’évolution en créneau de durée t₁, est représentée en fonction du temps. Données : R = 1 k.W ; C = 1000 µF et U₀ = 12 V.

En supposant que t₁--> infini , choisir parmi les cinq courbes ci-dessous, celle qui représente l’évolution en fonction du temps t :
-De la tension u_c aux bornes du condensateur dont on donnera la valeur numérique maximale atteinte U_CM ;
- De la tension u_R aux bornes de la résistance dont on donnera la valeur numérique maximale atteinte
U_RM ;
- Du courant i dans le circuit dont on donnera la valeur numérique maximale atteinte I_M .
Donner l’expression littérale et la valeur numérique de la constante de temps t de ce circuit.
Choisir parmi les réponses proposées, la plus faible valeur de durée t₁ du créneau permettant à la tension u_c d’atteindre 99% de la valeur U_CM. 0,03 s ; 0,12 s ; 1,93 s ; 3,37 s ; 4,61 s ; 5 s ; 9,47 s.
On applique maintenant le créneau de tension u_AB durant t₁ = 100 s. On ferme alors l’interrupteur K. Le moteur soulève la charge m = 10 g sur une hauteur h = 0,35 m et s’arrête. La tension du condensateur dans ces conditions
a pour valeur U_CA = 4, 8 V. On donne g = 10 m.s^-2.
Déterminer, au moment de la fermeture de l’interrupteur K, la valeur :
- q_a de la charge atteinte par l’armature a du condensateur ;
- q_b de la charge atteinte par l’armature b du condensateur ;
- E_CE de l’énergie emmagasinée par le condensateur.
Calculer, en fin d'ascension de la charge, l’énergie E_CA restant emmagasinée dans le condensateur, l’énergie E_CF fournie par le condensateur au moteur et l’énergie E_M communiquée par le moteur à la charge.
- Comparer E_CF et E_M et conclure.

corrigé

courbe III : pendant la charge, la tension u_c aux bornes du condensateur croît jusqu'à la valeur U₀= 12 V

courbe V : pendant la charge, la tension u_R aux bornes de la résistance décroît( comme l'intensité )de la valeur U₀=12 V jusqu'à la valeur nulle.

courbe V : pendant la charge, l'intensité du courant i dans le circuit décroît de la valeur U₀/R = 12 / 1000 = 12 mA à zéro.

la constante de temps t de ce circuit : t = RC = 1000 * 10^-3 = 1 s.

la plus faible valeur de durée t₁ du créneau permettant à la tension u_c d’atteindre 99% de la valeur U_CM est égale à :

u_c= U₀(1-exp(-t/t)) ; 0,99 U₀ =U₀(1-exp(- t₁/t)) ; 0,99 =1-exp(- t₁/t) ;exp(- t₁/t) = 0,01

- t₁/t = ln 0,01 = -4,61 soit t₁ = 4,61 t = 4,61 s.

t₁ = 100 s le condensateur est chargé ; la tension à ses bornes vaut 12 V ; C= 10^-3 F

q_a= CU₀ = 12 10^-3 C ; q_b= -q_a = - 12 10^-3 C ;

énergie stockée dans le condensateur : E_CE =½q²_a/C= 0,5*(12 10^-3)²/10^-3 = 72 10^-3 J.

E_CA restant emmagasinée dans le condensateur : ½CU²= 0,5*10^-3*4,8²= 11,5 10^-3 J

l’énergie E_CF fournie par le condensateur au moteur :(72-11,5)10^-3 = 60,5 10^-3 J.

l’énergie E_M communiquée par le moteur à la charge : mgh = 0,01*10*0,35 = 35 10^-3 J.
rendement du dispositif : E_M / E_CF = 35/60,5 = 0,58 ( 58 %) les pertes sont très importantes pour un moteur électrique.

sujet 4

On se propose d’étudier la réaction de formation de l’ester de formule semi-développée : HCOOCH₂(CH₂)₂CH₃

Pour ce faire, on réalise à l’instant t = 0 un mélange équimolaire d’un acide carboxylique AH et d’un alcool noté ROH ; ce mélange est porté à reflux. Toutes les 10 minutes, on prélève 5% (soit 1/20ème) du milieu réactionnel. Ce prélèvement est ensuite dosé par une solution molaire d’hydroxyde de sodium (NaOH) selon le protocole suivant :
a) ajout de 50 mL d’eau glacée

b) ajout de 3 gouttes d’indicateur coloré

c) dosage au moyen d’une burette par une solution aqueuse : [NaOH] = 1 mol.L^-1.

La réaction de dosage est instantanée et peut être considérée comme totale : AH + OH^- --> A^- + H₂O

Le résultat de ces analyses permet de tracer la courbe donnant l’évolution de la quantité totale d’acide au cours de la

réaction :

Ecrire l’équation bilan de la réaction d’estérification.
Donner le nom systématique de l’ester formé.
Calculer la masse molaire de l’ester.
Tracer l’allure de la courbe n_E = f(t) donnant l’évolution de la quantité d’ester en fonction du temps.
Déterminer la vitesse instantanée de formation de l’ester au bout d’une heure de reflux.
Calculer la constante d’équilibre de la réaction de dosage.
Déterminer le volume équivalent de soude versé pour le sixième dosage (à t = 60 min).
Donner la valeur du rendement final de l’estérification.
Comment augmenter la vitesse sans modifier le rendement final par rapport à l’acide ? (Choisir une ou plusieurs réponses : augmenter la quantité d’acide ; augmenter la quantité d’alcool ; augmenter la température ; utiliser un catalyseur ; ajouter de l'eau)
Données : M_H = 1 g.mol^-1 ; M_C = 12 g.mol^-1 ; M_O = 16 g.mol^-1 ; M_Na = 23 g.mol^-1 ;

pKa (H₃O⁺ / H₂O) = 0 ; pKa (HCOOH / HCOO^-) = 3,8 ; pKe = 14

corrigé

HCOO H + HOCH₂(CH₂)₂CH₃= HCOOCH₂(CH₂)₂CH₃+ H₂O.

nom de l'ester : méthanoate de n-butyle.

mase molaire de l'ester C₅H₁₀ O₂ : M= 12*5+10+2*16=102 g/mol

n_E = n₀ _(acide) - n _acide (t) = 0,7 - n _acide (t)

temps (min) 0 30 60 90 120

n _acide (t) (mol) lecture graphe 0,7 0,45 0.35 0,3 0,26

n_E (mol) 0 0,25 0,35 0,4 0,44

vitesse instantanée de formation de l’ester au bout d’une heure : v= 1/V [dnE/dt]_{t= 60
min} avec V : volume du mélange réactionnel

constante d’équilibre de la réaction de dosage :

AH + HO^- = A^- + H₂O ; K= [A^-]/([AH][HO^-]) avec K_a = [A^-][H₃O⁺]/([AH]= 10^-3,8 ;

K= [A^-][H₃O⁺]/([AH][HO^-][H₃O⁺]) = Ka / Ke = 10^-3,8 / 10^-14 = 10^10,2 = 1,6 10¹⁰.

volume équivalent de soude versé pour le sixième dosage :

d'après le graphe il reste 0,35 mol d'acide soit dans le prélèvement : 0,35/20 = 1,75 10^-2 mol

à l'équivalence du dosage acide base : 1,75 10^-2 = C_b V_be d'où V_be= 1,75 10^-2 / C_b= 1,75 10^-2 / 1 = 1,75 10^-2 L.

rendement = n_{ester formé} / n _{ester
théorique} = (0,7-0,23)/0,7 = 0,47/0,7 = 0,67 ( 67 %)

valeurs obtenues sur le graphe.

augmenter la vitesse sans modifier le rendement final par rapport à l’acide : augmenter la température ou utiliser un catalyseur.

sujet 5

La Terre peut être considérée comme un corps à symétrie sphérique de centre O de rayon R et de masse M. Soit un objet ponctuel de masse m, situé en A distant de r du centre de la Terre. G : constante de gravitation. .u : vecteur unitaire dirigé de O vers A. F: force d’attraction gravitationnelle appliquée à l’objet de masse m.

Exprimer le vecteur champ de pesanteur en fonction de r.
- Exprimer la norme du champ de pesanteur g₀ à la surface de la terre.
Soit un point A animé d’un mouvement plan circulaire de rayon r, à la vitesse v constante.
- Donner l’expression de l’accélération a dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme.
- Etude des satellites terrestres.
Le mouvement circulaire uniforme est aussi une solution exacte de l’équation qui régit le mouvement des satellites
terrestres. Exprimer la vitesse v en fonction de r.
- Exprimer la période T de rotation autour de la Terre en fonction de r.
On rappelle que les satellites géostationnaires parcourent dans le référentiel géocentrique, un cercle équatorial, décrit d’Ouest en Est, avec une vitesse angulaire de révolution égale à celle de la Terre. Pour déterminer le jour sidéral, on retient que la Terre tourne autour d’elle et autour du Soleil dans le même sens.
- La Terre doit-elle faire autour d’elle-même pour que le Soleil reviennent au zénith : plus d’un tour, moins d’un tour ou un tour exactement ?
- En un an, la Terre aura fait combien de tours sur elle-même par rapport à un repère Galiléen ?
- Déterminer l’altitude z de ces satellites. On rappelle que R +z = r
Données : Champ de pesanteur moyen g₀ = 9,81 m.s^-2; Rayon de la Terre : R = 6 380 km. Jour sidéral T = 86 164 s

corrigé

Le poids est à peu près égal à la force de gravitation

mg= GM_terre m / r² d'où g= GM_terre / r²

à la surface de la terre r= R_terre. g₀ = GM_terre / R²_terre

période T de rotation autour de la Terre en fonction de r :

La période est la durée pour pacourir une circonférence de rayon r à la vitesse v

2pr = vT

4p²r² = v²T² = GMT² / r

T² = r³ 4p²/ (GM) ; T= 2p [r³/ (GM)]^½.

La Terre doit faire plus d’un tour, autour d’elle-même pour que le Soleil reviennent au zénith.

En un an, la Terre aura fait 366,25 tours sur elle-même par rapport à un repère Galiléen.

T² = r³ 4p²/ (GM) ; r³ = T² GM / (4p²) avec GM= g₀R²

r³ = T² g₀R²/ (4p²) = 86164²*9,81*(6,38 10⁶)²/ (4*3,14²)= 7,52 10²² ; r = 4,22 10⁷ m

z= r-R= 4,22 10⁷ =6,38 10⁶ =3,58 10⁷ m.

sujet 6

Le radon ²²²₈₆Rn fait partie d’une famille radioactive qui, par une série d’émissions ß^- et a, aboutit au plomb ²⁰⁶₈₂Pb
Ecrire l’équation de la réaction nucléaire représentant l’émission a par des noyaux ^A_ZX.
Ecrire l’équation de la réaction nucléaire représentant l’émission ß^- par des noyaux ^A_ZX.
En déduire le nombre de désintégrations ß^- et a émises pour passer du ²²²₈₆Rn au ²⁰⁶₈₂Pb.

On prépare un échantillon de 1 mg de ²²²₈₆Rn et on mesure la décroissance dans le temps de la masse m du radon restant :

t(jours)	0	1	2	3	4	5
m(mg)	1	0,83	0,69	0,58	0,48	0,4

- A l’aide des données du tableau, donner l’ordre de grandeur de la demi-vie du radon 222.
- Tracer le graphe de ln (m) = f(t). Indiquer la nature de la courbe obtenue. En déduire la constante radioactive l du radon 222 puis sa demi-vie.

Calculer l’activité A₀ de l’échantillon de radon à t = 0. Calculer la masse m₁₀ et l’activité A₁₀ de l’échantillon de radon à t = 10 jours.
Données : Masse molaire du radon 222 : M = 222 g.mol^-1

Nombre d’Avogadro : N_A = 6,02 10 ²³ mol^-1

corrigé

^A_ZX= ⁴₂He + ^A-4_Z-2Y : émission a

^A_ZX= ⁰_-1e + ^A_Z+1Y : émission ß^-

²²²₈₆Rn fait partie d’une famille radioactive qui, par une série d’émissions ß^- et a, aboutit au plomb ²⁰⁶₈₂Pb :

le nombre de nucléons diminue de 222-206 = 16 : donc 4 désintégrations de type a

le nombre de charge diminue globalement de 4 : donc 4 désintégrations de type ß^-.

demi-vie : durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés ; la masse initiale du radon est alors divisée par 2.

D'après les données du tableau, l’ordre de grandeur de la demi-vie du radon 222 est un peu inférieure à 4 jours.

coefficient directeur = -0,72 / 4 = -0,18 jour^-1.

de plus m= m₀ exp(-lt) ; ln m = ln m₀ -lt

donc droite de coefficient directeur -l : l=0,18 jour^-1.

demi vie t_½ : t_½l=ln2 soit t_½=ln2/l= 0,693 / 0,18 = 3,85 jours.

activité A₀ de l’échantillon de radon à t = 0 : A₀ = N₀ l avec N₀ = m₀ /M* N_A.

N₀ = 10^-3 /222*6,02 10²³ = 2,71 10¹⁸ noyaux de radon 222.

l=0,18 jour^-1 = 0,18/(24*3600) s^-1= 2,08 10^-6 s^-1.

A₀ = N₀ l = 2,71 10¹⁸*2,08 10^-6 = 5,64 10¹² Bq.

masse m₁₀ et l’activité A₁₀ de l’échantillon de radon à t = 10 jours :

A₁₀ = A₀exp(-lt)=5,64 10¹² exp(-0,18*10)= 9,32 10¹¹ Bq.

m₁₀ = m₀exp(-lt)=1 exp(-0,18*10)= 0,16 mg.

sujet 7

On néglige la résistance interne de la bobine. Initialement l’interrupteur est en position 1 depuis un temps très long. A t = 0, on bascule l’interrupteur de la position 1 vers la position 2. Dans tout l’exercice, on considérera que l’interrupteur a déjà basculé.

Exprimer u_c en fonction de u_L.
- Exprimer i en fonction de u_c.
- Exprimer u_L en fonction de i.
En déduire l’équation différentielle à laquelle obéit u_c.
La solution de l’équation précédente est de la forme : u_c= U₀ cos ( 2pf t+j), U₀ et j sont des constantes.
- Donner l’expression littérale et la valeur numérique de f. Quelle est l’unité de f ?
- Donner l’expression littérale du courant i en fonction du temps.
- Indiquer les valeurs de u_c (t = 0) et de i (t = 0).
- En déduire les valeurs de U₀ et j.
On réalise l’expérience décrite ci dessus u_c (t) est enregistrée grâce à un système d’acquisition de données. L’allure de la courbe est donnée ci-dessous. Cette courbe est-elle conforme au modèle proposé pour ce circuit ? Pourquoi ?

corrigé

Exprimer u_c en fonction de u_L : u_c + u_L = 0
Exprimer i en fonction de u_c : i = dq/dt ( q : charge de l'armature supérieure du condensateur)

or q= Cu_c ; i = dq/dt = Cdu_c/dt ; di /dt= d²q/dt² = Cd²u_c/dt ² = Cu"_c
Exprimer u_L en fonction de i : u_L = L di/dt = LCu"_c

équation différentielle à laquelle obéit u_c : u_c + LCu"_c = 0 ou bien u"_c + 1/(LC) u_c=0

expression de la fréquence propre en Hz : f= 1/(2p(LC)^½)= 1/(6,28 (10^-5)^½=50,3 Hz.

expression littérale du courant i en fonction du temps : u_c= U₀ cos ( 2pf t+j)

i = Cdu_c/dt = -CU₀2pf sin ( 2pf t+j)
u_c (t = 0) = E ( condensateur chargé) et i (t = 0)= 0 ( la charge q n' a pas encore eu le temps de varier)
u_c(t=0)= U₀ cos (j) = E donc cos (j) = 1 soit j =0 et U₀= E

Analyse de la courbe u_c(t) :

ce modèle ne convient pas : il implique la présence de résistor dans le dipole (LC), responsable de l'amortissement.

sujet 8

On considère un métronome que l’on modélise par un pendule de longueur réglable L = OA. Il est constitué par une masse considérée comme ponctuelle M = 20 g placée au bout d’une tige rigide de masse négligeable. Les frottements seront négligés.

Quand on écarte le pendule de sa position d’équilibre verticale d’un angle q _m, il oscille dans un plan vertical, la masse M oscillant entre les positions limites A et B. On appelle q (t) l’angle que fait la tige avec la verticale à l’instant t. A l’instant t = 0, on écarte le pendule d’un angle q _m= 8° et on le libère sans vitesse initiale.

Lorsque la masse M passe en A et en B, le métronome émet un signal sonore. On choisit comme origine des énergies potentielles le plan horizontal passant par la position de la masse M au repos (point S). Le métronome est placé dans un laboratoire où g = 9,81 m.s^-2.

Le métronome est réglé pour un tempo de N = 120 soit 120 signaux sonores par minutes. Calculer la période des oscillations T et la longueur L.
Le mouvement du pendule admet comme solution une équation horaire de la forme : q(t) = a cos (b t + c). Déterminer a, b et c.
Donner l’expression littérale de q ' , la dérivé de q (t) par rapport au temps. On appelle v(t) le module de la vitesse instantanée de la masse M. Calculer v en A et S. Représenter v en fonction du temps.
Calculer les énergies potentielles Ep et cinétiques Ec et du pendule au point A. Calculer l’énergie mécanique E_M au point S
On place un métronome ainsi réglé sur la Lune. La période est alors T_L = 2,45 s. Déterminer l’accélération de pesanteur g_L sur la Lune.

corrigé

période des oscillations du pendule simple T = 1 s.

T=2p(L/g)^½ ; longueur L = T²g/(4p²)= 1*9,81/(4*3,14²)= 0,249 m.

q(t) = a cos (b t + c).

8 degrés = 0,14 rad. ; a= 0,14 rad.

b = pulsation = w = 2pf= 2p/T= 6,28 rad/s.

c: phase à l'origine = 0.

q ' = -ab sin (bt+c)

la vitesse en A est nulle ; la vitesse est maximale en S.

v_S= L q '(t= T/4) =0,249*0,14*6,28 sin(½p) = 0,22 m/s.

énergie potentielle Ep au point A : Ep= mgL(1-cos q _m)= 0,02*9,81*0,249(1-cos 8)=4,8 10^-4 J

l'énergie cinétique Ec du pendule au point A est nulle.

l’énergie mécanique E_M se conserve : au point S l'énergie mécanique est égale à l'énergie potentielle au point A.

accélération de pesanteur g_L sur la Lune : T_L=2p(L/g)^½ ; g_L = 4p²L /T²_L= 4*3,14²*0,249/ 2,45²= 1,64 ms^-2.

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