Aurélie 04/05

Divers mouvements d'un solide ponctuel ; spectroscopie ; butanol ; acide monochloroéthanoïque ; dibrome.

d'après concours kiné Nantes 2005

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Divers mouvements d'un solide ponctuel

 

  1. Un solide S de masse m =100 g est fixé à une plaque P solidaire d'un ressort de raideur k = 250 N.m-1 et de longueur naturelle l0 = 25cm ; les masses de la plaque et du ressort sont négligeables. On considère que S se déplace sans frottement dans un guide rectiligne comme le montre le schéma. Le mouvement du centre de gravité G de S est étudié dans le repère (0, ex, ey, ez ) .O est la position d'équilibre de G (AO = l0 ); on note OG = x ex le vecteur position de G . Le ressort est comprimé de b=10 cm et, à l'instant t = 0 , l'ensemble est lâché sans vitesse initiale.

    - Etablir l'équation différentielle du mouvement de G vérifiée par x( t).
    - Vérifier que x(t) =-b cos( 2pt/T0 ) est solution de l'équation différentielle et calculer la période propre T0.
    - En déduire les expressions de la vitesse V (t ) = x'(t) et de la force F(t ) exercée par le ressort sur S.

  2. En fait S n'est pas fixé à la plaque P et perd le contact avec celle-ci quand F s'annule pour la première fois. Le glissement de S sur la partie OB du plan horizontal se fait avec frottement. La force de frottement exercée est :
    f =-mmgex , m le coefficient de frottement, est une grandeur constante positive.
    - Déterminer la vitesse V0 de S quand il quitte P.
    - S arrive en B avec une vitesse VB=VBex. Exprimer m en fonction de V0, VB, g et D = OB.
  3. Après B, S effectue un mouvement aérien, que l'on suppose sans frottement, et chute en C sur un plan incliné faisant un angle a avec l'horizontale (BC= L).
    - Etablir, dans le repère (B,ex,ey), l'équation cartésienne y =f( x) de la trajectoire de G.
    - Exprimer VBen fonction de a., g, et L = BC .
  4. Ondonne: g ~ 10m.s-2, D= l m, L=1,6 m et a =30°.
    - Calculer VB.
    - Evaluer m.

corrigé
Les vecteurs sont éctits en bleu et en gras.

Le solide est soumis à son poids, à l'action du support et à la tension F = -kx ex du ressort. En absence de frotement le poids et l'action du support se neutralisent. Suivant l'axe (O ex ) la seconde loi de Newton s'écrit :

-kx= mx" soit x" + k/m x=0 ; on pose w²= k/m = 250/0,1 = 2500 ; w = 50 rad/s.

x" +w² x=0 ; période T0 = 2p / w = 2p [m/k]½ = 2*3,14 [0,1 / 250 ]½ = 0,126 s.

x(t) = -b cos( 2pt/T0 ) ; dériver par rapport au temps : vitesse v(t) = x'= b 2p /T0 sin( 2pt/T0 )

dériver une seconde fois : x" = b [2p /T0 ]² cos( 2pt/T0 ) = b w² cos( 2pt/T0 )

repport dans l'équation différentielle :

b w² cos( 2pt/T0 ) + w² (-b) cos( 2pt/T0 ) = 0 est bien vérifiée quel que soit t.

force de rappel, colinéaire à (x ex ) mais de sens contraire F (t) = -k x ex :

F (t) = k b cos( 2pt/T0 ) ex = 250*0,1 cos (50 t)ex = 25 cos (50 t)ex.


énergie potentielle élastique stockée initialement par le ressort comprimé: ½kb²

énergie mécanique initiale du système{ ressort + solide S} : ½kb² + ½mv² = ½kb²

Au passage à la position d'équilibre, au point O, l'énergie potentielle élastique est nulle, l'énergie cinétique est maximale : ½mV²0.

En absence de frottement, l'énergie mécanique se conserve : ½kb² = ½mV²0.

soit V²0 = k/mb² = 250/0,1 *0,1² = 25 et V0 = 5 m/s.

Appliquer le théorème de l'énergie cinétique entre O et D :

le solide est soumis à son poids, à l'action normale du support et à la force de frottement ; le poids et l'action normale du support, perpendiculaires à la vitesse, ne travaillent pas.

travail résistant de la force de frottement : -mmgD

variation d'énergie cinétique : ½mV²B - ½mV²0.

La variation de l'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces :

½mV²B - ½mV²0 = -mmgD ; V²B - V²0 = -2mgD

m = (-V²B + V²0 ) / ( 2gD).


le solide en chute libre n'est soumis qu'à son poids ; l'accélération de son centre d'inertie G est a= gey.

vitesse initiale en B : VB=VBex.

le vecteur vitesse est une primitive du vecteur accélérationa :

Vx = VB ; Vy = gt

le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse :

x = VB t ; y = ½gt²

trajectoire : y = ½g /V²B.

au point d'impact C : yC= L sin a; xC= Lcos a.

B= ½g x²C/yC =½g L cos² a / sina = g L cos² a = 10*1,6 cos² 30 = 16 cos²30 = (4 cos 30)²

soit VB= 4 cos 30 = 3,464 m/s.


m = (-V²B + V²0 ) / ( 2gD)

m = ( -3,464 ² + 5²) / (20) = 0,65.



spectroscopie :

La partie II est largement indépendante de la partie I.

I. Les niveaux d'énergie, En, de l'atome d'hydrogène sont donnés par la relation En = -E0 / n², E0 est une constante positive et n un nombre entier positif. L'énergie nulle correspond à l'atome ionisé (noyau et électron très éloignés et au repos).

  1. Montrer que la transition électronique du niveau n =p au niveau n =m (p > m) s'accompagne de l'émission d'une radiation de longueur d'onde dans le vide l donnée par : 1/l = RH(1/m²-1/p²)
    RH est la constante de Rydberg. On exprimera RH en fonction de E0, h et c.
    h est la constante de Planck et c la célérité de la lumière dans le vide.
  2. La radiation Ha est émise lors de la transition 3 -->2 ; sa longueur d'onde dans le vide est la = 656,3 nm.
    - Quelle est la couleur de cette radiation ?
    - Calculer RH et E0 dans le système international (on précisera les unités).
  3. Les radiations de la série de Balmer correspondent aux transitions p--> m =2.
    - Calculer les longueurs d'onde des radiations Hb(p =4), Hg (p = 5) et Hd(p = 6).
    - Donner les couleurs de ces radiations.

II

  1. Un rayon lumineux monochromatique (l a = 656,3 nm) est envoyé sur un prisme en verre très dispersif d'angle au sommet q = 30° perpendiculairement à sa face AB (voir schéma). On observe une déviation Da =32,8°.

    - Sur un schéma, tracer le parcours du rayon lumineux et noter Da
    - Calculer l'indice de réfraction Na du verre pour la radiation Ha
    - Calculer la vitesse de propagation Vade la radiation Ha dans le verre.

  2. On envoie sur la face AB du prisme, sous incidence normale, un étroit faisceau de lumière parallèle à l'arête du prisme. Le faisceau est polychromatique et comprend les 4 radiations de la série de Balmer Ha, Hb, Hg et Hd . Un écran E, parallèle à la face AB du prisme, est placé à une distance a = 50,00 cm (schéma). L'indice de réfraction, N, du verre varie en fonction de la longueur d'onde dans le vide l suivant la relation de Cauchy: N =K1+ K2/l² ; K1et K2 sont deux constantes positives.
    - On observe sur l'écran 4 raies lumineuses. Expliquer pourquoi.
    - La distance entre les 2 raies lumineuses extrêmes est b =5,42 cm. En déduire l'indice Nd du verre pour la radiation Hd.
    -Calculer les deux constantes K1 et K2 (on précisera les unités).
    Célérité de la lumière dans le vide: c =3.108m.s-1. Constante de Planck: h = 6,626.10-34J s.
    On considère que la vitesse de la lumière est pratiquement la même dans l'air et dans le vide.
 


énergie de l'atome excité : Em= -E0 / m² ; Ep = -E0 / p²

énergie mise en jeu lors de la transition du niveau p vers le niveau m : E= Ep- Em = E0 (1/ m²- 1/ p²)

énergie du photon émis : E= h c/l = E0 (1/ m²- 1/ p²)

1/ l = E0 / (hc) (1/ m²- 1/ p²) avec RH = E0 / (hc)


couleur de la radiation : rouge

1/ l = 1 / 656,3 10-9 = 1,524 106 m-1.

(1/ m²- 1/ p²) = 1/4-1/9= 0,1389

RH = 1,524 106 / 0,1389 = 1,097 107m-1.

E0 = 1,097 107 * (6,62 10-34*3 108) =2,18 10-18 J

2,18 10-18 / 1,6 10-19 = 13,6 eV.


1/l = RH(1/m²-1/p²) avec RH= 1,097 107 m-1.

longueurs d'onde des radiations Hb(p =4), Hg (p = 5) et Hd(p = 6)

1/l b = 1,097 107 (1/2²-1/4²) soit l b = 486,2 nm ( bleu )

1/l g = 1,097 107 (1/2²-1/5²) soit l b = 434 nm ( bleu violet)

1/l d = 1,097 107 (1/2²-1/6²) soit l b = 410,2 nm ( violet)

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loi de Descartes pour la réfraction : Na sin i1 = sin i2 avec i1 = q = 30°

Da = i2 - i1 soit i2 = Da + i1 = 62,8° ; Na = sin i2 / sin i1 = 1,7788.

vitesse de propagation des ondes dans le milieu transparent d'indice Na : Va = c/Na = 3 108 / 1,7788 = 1,686 108 m/s.

Le prisme est un milieu dispersif, donc on observe 4 raies sur l'écran, le violet étant le plus dévié, le vert le moins dévié.

b= AB = HB-HA= a (tan Dd-tan Da)

tan Dd=tan Da + b/a = tan 32,8 + 0,0542/0,5 = 0,7528 soit Dd=36,97°.

puis la loi de Descartes pour la réfraction donne Nd=sin( Dd+ 30)/ sin 30 = 1,840.

loi de Cauchy : N =K1+ K2/l²

Na =K1+ K2/l²a et Nd =K1+ K2/l²d

soit Nd - Na = K2(1/l²d-1/l²a) = K2(5,943-2,321) 1012.

K2 =(1,84-1,7788) /3,622 1012 soit K2 =1,69 10-14 m-2.

Na =K1+ K2/l²a donne K1=Na- K2/l²a = 1,7788 -1,69 10-14 /(6,563 10-7)²= 1,74.



ester :
  1.  
  2. Donner les formules semi-développées et les noms des alcools de formule brute C4HlOO.
  3. Lequel de ces alcools permet d'obtenir l'acide butanoïque par oxydation ménagée ?
  4. Disposant de tous les composés cités dans cet exercice, on prépare le produit de formule

    - Préciser la fonction chimique et le nom de ce produit ?
    - Ecrire l'équation de la réaction de synthèse de ce produit.


corrigé
CH3-CH2-CH2-CH2OH
butan-1-ol alcool primaire donne l'acide butanoïque par oxydation ménagée ( excès d'oxydant)

CH3-CH(CH3)-CH2OH 2-méthylpropan-1-ol alcool primaire

CH3-CH(OH)-CH2-CH3 butan-2-ol alcool secondaire

CH3-C(CH3)2-OH 2,2-diméthylpropan-2-ol alcool tertiaire

 

butanoate de 1-méthylpropyle

CH3-CH2-CH2-CO2H + CH3-CH(OH)-CH2-CH3 = CH3-CH2-CH2-CO2-CH(CH3)-CH2-CH3 + H2O

acide butanoïque + butan-2-ol = butanoate de 1-méthylpropyle + eau



solutions d'acide éthanoïque :

 

Un volume Va = 10 mL d'une solution A d'acide monochloroéthanoique est dosé, en présence de phénolphtaléine ( zone de virage [8,2 ; 10]), par une solution B de soude de concentration Cb= 0,080 mol/L. A l'équivalence le volume de solution B versé est Vb= 12,5 mL. On note S la solution obtenue à l'équivalence et V son volume total.

  1. Ecrivez l'équation chimique de la réaction support du dosage.
  2. Calculez Ca.
  3. On appelle coefficient de dissociation a d'un acide AH en solution le rapport entre le nombre de mole d'acide qui ont été ionisées lorsque l'équilibre est atteint, et le nombre de mole d'acide initialement mise en solution.
    - Donner l'expression de 1-a en fonction des concentrations molaires volumiques [AH]éq et [A-]éq base conjuguée.
    - Donner l'expression du pH de la solution en fonction de (1-a) et du pKa du couple acide base.
    - Sachant que (1-a) = 3,53 10-5 dans la solution S, calculer le pH de cette solution si Ka = 1,8 10-4.
    - L'indicateur coloré a-t-il été bien choisi ?

corrigé
ClCH2-COOH + HO- = ClCH2-COO- + H2O

à l'équivalence les quantités de matière des réactifs sont en proportions stoéchiométriques

Ca Va = Cb Vb soit Ca = Cb Vb / Va = 0,08*12,5 / 10 = 0,1 mol/L.

a = [A-]éq / ([AH]éq + [A-]éq) = [A-]éq / C.

conservation de A : [AH]éq + [A-]éq = CaVa/ V = C

1 - a = 1- [A-]éq / C = (C- [A-]éq )/ C =[AH]éq / C.

pH = pKa + log ([A-]éq /[AH]éq )

pH = pKa + log (a / (1 - a))

si Ka = 1,8 10-4 alors pKa = -log(1,8 10-4)= 3,745 ; a proche de 1

pH = 3,745 + log ( 1 / 3,53 10-5) = 8,2.

l'indicateur a été bien choisi car sa zone de virage contient le pH du point équivalent.



dissociation thermique du dibrome :

 

A température élevée, le dibrome Br2 se dissocie partiellement pour donner du brome monoatomique Br. Le dibrome et le brome monoatomique sont des gaz. On porte 1,6 g de dibrome à la température q =1600 °C sous la pression P0=1013 hPa.

  1. Ecrire la réaction de dissociation du dibrome en brome monoatomique.
  2. Le dibrome et le brome monoatomique sont assimilés à des gaz parfaits.
    - Quel serait le volume V1, si le dibrome ne se dissociait pas ?
    - Quel serait le volumeV2 , si le dibrome se dissociait totalement ?
  3. A l'équilibre, le volume du mélange dibrome et brome monoatomique est V =1,92 L. Calculer l'avancement x de la réaction et le coefficient de dissociation a du dibrome.

Ondonne : Constantedesgaz parfaits: R =8,314I K-1.mol-1.

Masse molaire atomique de brome: M(Br) = 80 g.mol-1.


corrigé
Br2 (g) --> 2 Br (g)

équation des gaz parfait : PV= nRT

avec T= 1600+273 = 1873 K ; P= 1,013 105 Pa ; n = 1,6 / (80*2) = 10-2 mol dibrome

V1= nRT/P = 10-2*8,314*1873 / 1,013 105 =1,54 10-3 m3.

si tout le dibrome est dissocié en brome : n( Br) = 2 n(Br2) = 0,02 mol

en conséquence le volume du brome monoatomique est : V2= 3,08 10-3 m3.


avancement (mol)
Br2 (g)
--> 2 Br (g)
initial
0
0,01 mol
0
en cours
x
0,01-x
2x
à l'équilibre
xéq
0,01-xéq
2 xéq
à l'équilibre, la quantité de matière des gaz est : n= 0,01 + xéq mol

de plus n = PV/(RT) avec : V= 1,92 10-3 m3

n= 1,92 10-3 * 1,013 105 /(8,314*1873) = 1,25 10-2 mol

soit xéq = 2,5 10-3 mol.

coefficient de dissociation a du dibrome : xéq / n (Br2) initial = 2,5 10-3 / 10-2 = 0,25.



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