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Céramiques et ultrasons
(4 points)
Les ultrasons sont utilisés dans de nombreux
domaines de la vie courante : échographie,
détecteurs de présence dans les alarmes, etc.
Les émetteurs et les récepteurs d'ultrasons
sont fréquemment constitués de
céramiques piézoélectriques.
Les parties 1 et 2 de cet exercice sont
indépendantes.
- Emission et propagation de l'onde ultrasonore
produite par une céramique
piézoélectrique :
Lorsqu'on applique une tension sinusoïdale
d'amplitude suffisante et de fréquence
appropriée entre les deux faces
métallisées et opposées d'une
céramique piézoélectrique, elle se
met à vibrer. Lorsque la céramique entre en
résonance, elle émet des ultrasons. La
fréquence des ultrasons émis est
égale à la fréquence de vibration de
la céramique émettrice.
- Propagation des ondes ultrasonores :
On réalise le montage schématisé
figure ci-dessous. Le récepteur, constitué
d'une céramique réceptrice, est
placé à une distance d, face à la
céramique émettrice. Une tension de
même fréquence que les ultrasons
reçus apparaît aux bornes de la
céramique réceptrice. On visualise cette
tension sur la voie A d'un oscilloscope. L'oscillogramme
obtenu est représenté sur la figure
ci-dessous. Le coefficient de balayage est égal
à 10 µs/div et la sensibilité
verticale à 0,2 V/div. On rappelle que la
célérité des ultrasons dans l'air
est vair = 340 m.s-1 dans les conditions de
l'expérience.
Déterminer la période T et la
fréquence f de la tension observée à
l'oscilloscope. En déduire la fréquence
f des ultrasons. Justifier.
Donner l'expression littérale puis la valeur de la
longueur d'onde l des
ultrasons dans l'air.
- Résonance de la céramique
émettrice :
Pour une valeur appropriée de la
fréquence de la tension sinusoïdale
appliquée, son amplitude restant constante, la
céramique émettrice entre en
résonance. La tension sinusoïdale joue alors
le rôle d'un excitateur et la céramique
celui d'un résonateur. Que peut-on dire de la
valeur de la fréquence de la tension excitatrice
à la résonance ? Décrire
qualitativement le phénomène de
résonance en ce qui concerne l'amplitude de
vibration de la céramique.
- Oscillations libres dans un circuit RCL
série :
Pour étudier les conditions d'obtention
d'oscillations électriques libres à la
fréquence propre f0 = 40 kHz, on
réalise le circuit schématisé figure
ci-dessous. Un oscilloscope à mémoire
permet d'enregistrer la tension aux bornes du
condensateur. L'oscillogramme est
représenté sur la figure ci-dessous. La
bobine a une inductance de valeur L = 1,0 mH ; R est la
résistance totale du circuit. Le condensateur est
initialement chargé sous une tension Uc
= 4,0 V. A l'instant de date t = 0 s, on ferme
l'interrupteur K.
Comment appelle-t-on le type de régime
correspondant à la figure ci-dessus ?
Interpréter en termes d'énergie
l'amortissement des oscillations, que l'on observe.
Comment peut-on éviter l'amortissement des
oscillations, sachant que la résistance du circuit
ne peut être nulle ?
Dire si les affirmations ci-dessous concernant les
oscillations libres d'un dipôle RLC sont vraies ou
fausse. Commentez brièvement.
Affirmation 1 : En augmentant la résistance R
d'un dipôle RLC on observera toujours des
oscillations amorties.
Affirmation 2 : la valeur de la période propre
d'un dipôle RLC dépend de la charge initiale
du condensateur.
- Détermination de la capacité d'un
condensateur :
Dans le cas étudié, l'amortissement est
assez faible pour pouvoir confondre la pseudo
période du dipôle RLC avec la période
propre T0 du dipôle LC (L et C ayant les
mêmes valeurs respectives dans les deux cas). On
considère le circuit LC représenté
à la figure ci-dessous.L'interrupteur K est ouvert
et la tension aux bornes du condensateur est égale
à U0. A l'instant de date t = 0 s, on
ferme l'interrupteur K. Après avoir établi
l'expression de l'intensité i du courant en
fonction de la tension uc montrer que
l'équation différentielle
vérifiée par la tension uc(t)
aux bornes du condensateur est: d²uc/dt +
1/(LC) uc = 0
- La solution de cette équation
différentielle peut s'écrire
uc(t) = U0cos(2pt/T0).
En déduire, en utilisant l'équation
différentielle, l'expression littérale de
la période propre T0 du circuit.
Calculer la valeur à donner à la
capacité C du condensateur de manière
à obtenir des oscillations à la
fréquence f0 = 40 kHz.
corrigé
période T et fréquence f de la tension
observée à l'oscilloscope :
deux périodes correspondent à 5 divisions
soit 50 ms; T= 25ms
= 2,5 10-5 s.
fréquence f = 1/T = 105/2,5 = 4,0
104 Hz = 40 kHz.
fréquence f des ultrasons =
fréquence du signal observé à
l'oscilloscope = 40 kHz
" Une tension de même fréquence que les
ultrasons reçus apparaît aux bornes de la
céramique réceptrice"
expression littérale et la valeur de la longueur
d'onde l des ultrasons dans
l'air :
l = c /f = 340/4
104 = 8,5 10-3
m.
Résonance de la céramique
émettrice :
à la résonance la valeur de la
fréquence de la tension excitatrice est égale
à la fréquence propre du
résonateur.
Description du phénomène de
résonance en ce qui concerne l'amplitude de
vibration de la céramique :
la céramique est soumise à des oscillations
forcées ; à la résonance l'amplitude
des oscillations devient très grande alors que pour
des fréquences excitatrices très
différentes de la fréquence propre de la
séramique, l'amplitude des oscillations restet
faible.
Oscillations libres dans un circuit RCL série
:
- type de régime correspondant
à la figure : oscillations libres
pseudo-périodiques.
Interpréation en termes d'énergie
de l'amortissement des oscillations
:
au cours des échanges d'énergie entre
condensateur et bobine, une partie de l'énergie est
dissipée sous forme de chaleur ( effet joule) dans
les résistances ( conducteur ohmique)
- On éviter l'amortissement des
oscillations en compensant à chaque instant
l'énergie perdue ( par exemple à l'aide
d'un dispositif électronique simulant une
résistance négative)
L'affirmation 1 est fausse : "En augmentant
la résistance R d'un dipôle RLC on observera
toujours des oscillations amorties".
Aumgmenter R c'est augmenter l'énergie
dissipée sous forme d'effet joule ; les oscillations
s'amortissent de plus en plus : on aboutit à un
régime apériodique.
L'affirmation 2 est fausse : "la valeur de la
période propre d'un dipôle RLC dépend de
la charge initiale du condensateur".
La pseudo-période ( si amortissement faible)
dépend de l'inductance de la bobine et de la
capacité du condensateur T=2p(LC)½.
Détermination de la capacité d'un
condensateur :
équation différentielle
vérifiée par la tension uc(t) aux
bornes du condensateur
tension aux bornes du condensateur : uc(t) ;
avec q(t) = C uc(t) et i (t) =q(t) /dt = Cd
uc(t)/dt ; di(t)/dt =
Cd²uc(t)/dt²
tension aux bornes de la bobine : uL(t) =
Ldi(t)/dt = LCd²uc(t)/dt²
additivité des tensions : uc(t)
+uL(t) =0 ; uc(t)+
LCd²uc(t)/dt² =0
soit : d²uc/dt +
1/(LC) uc = 0
solution de cette équation différentielle :
uc(t) = U0cos(2pt/T0).
expression littérale de la période
propre T0 du circuit :
dériver deux fois uc(t) =
U0cos(2pt/T0)
par rapport au temps :
u'c(t) = -U02p/T0sin(2pt/T0)
; u"c(t) = -U0(2p/T0)2cos(2pt/T0)
= - (2p/T0)2uc(t)
repport dans l'équation différentielle : -
(2p/T0)2uc(t)
+ 1/(LC)uc(t) =0
cela est vérifié quel que soit t si :
(2p/T0)2 =
1/(LC) soit T0 = 2p(LC)½.
valeur de la capacité C du condensateur de
manière à obtenir des oscillations à la
fréquence f0 = 40 kHz :
T0 = 2,5 10-5 s ; C=
T²0/(4p²L)
= 2,5² 10-10/(4p²10-3)
=1,6 10-8 F = 16
nF.
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