Aurélie 05/06
d'après concours manipulateur électroradiologie médicale Nantes 2006

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Circuit RL avec une "pile maison" (7 pts)

I- Réalisation de la pile :

On réalise une pile à partir des couples Pb2+(aq) / Pb(s) et Sn2+(aq)/Sn(s).

Les ions Pb2+(aq) proviennent d'une solution de nitrate de plomb( Pb2+(aq)+2NO3-(aq)), les ions Sn2+(aq) proviennent d'une solution de nitrate d'étain ( Sn2+(aq) +2NO3-(aq)).

La demi-pile de gauche contient le métal étain plongeant dans une solution de volume V2 = 30,0 mL, C2= 2,0 10-2 mol/L. La demi-pile de droite contient le métal plomb plongeant dans une solution de volume V1= 20 mL, C1 = 3,0 10-2 mol/L. Le pont salin est réalisé avec du nitrate de potassium.

M(Pb)= 207,2 ; M(Sn)=118,7 g/mol ; e = 1,6 10-19 C ; NA= 6,02 1023 mol-1 ; Pb2+(aq) + Sn(s) = Sn2+(aq)+ Pb(s). K1= 2,18

Sn2+(aq)+ Pb(s) = Pb2+(aq) + Sn(s) ; K2 = 0,46.

L'électrode positive de cette pile est l'électrode de plomb.

  1. Faire un schéma légendé de la pile.
  2. Comment évolue ce système lorsque la pile débite un courant ? Justifier
    - Préciser le sens de déplacement de tous les porteurs de charge électrique. Quelle est l'utilité du pont salin ?
  3. On fait débiter la pile pendant Dt=2,0 h avec une intensité I= 15 mA. Calculer la variation de masse de l'électrode de plomb ?

II. Circuit RL : on remplace la pile maison par un générateur de tension stabilisée de fem E=1,5 V. Le montage électrique consiste en une association série d'une bobine réelle (L ; r= 8,6 W), d'un conducteur ohmique (R=10 W ), d'un interrupteur et du générateur.

  1. Faire le schéma électrique du circuit en plaçant les "flèches tension" en respectant la convention récepteur pour les dipôles passifs ainsi que le sens conventionnel du courant. On note ug tension aux bornes du générateur, ub tension aux bornes de la bobine et uR tension aux bornes du résistor.
  2. A partir du tracé de ln(k)=f(t), où Ip est l'intensité du courant en régime permanent, déterminer la valeur de la constante de temps.
    - En déduire la valeur de l'inductance de la bobine.
    - Montrer par une analyse dimensionnelle que la constante de temps est homogène à un temps ou une durée. Préciser l'unité dans le système international associée à cette dimension.

     

  3. Méthode numérique d'Euler :
    - Etablir l'équation différentielle traduisant l'évolution temporelle du courant i(t).
    - La méthode d'Euler introduit les notations suivantes : di/dt = Di/Dt pour D t petit. i(tn+1) =i(tn) + Di(tn) avec tn+1 = tn + Dt ( pas de résolution). Recopier et compléter le tableau suivant :
    t
    i
    di/dt
    s
    A
    As-1
    0
    0
    36,59
    5,00 10-4
    0,018
    28,29
    1,00 10-3



    1,50 10-3



    2,00 10-3



    2,50 10-3
    0,058
    10,11
    3,00 10-3
    0,063
    7,82
    Quels est l'intérêt et l'inconvénient du choix d'un pas de résolution inférieur à 5 10-4 s ?

corrigé

Sn (s ) = Sn2+(aq)+ 2e- : oxydation du réducteur l'étain.

Pb2+(aq) +2e-=Pb (s ) réduction de l'oxydant Pb2+(aq)

Sn (s ) + Pb2+(aq) = Sn2+(aq) + Pb (s )

Dans la solution et dans le pont salin, les cations positifs se déplacent dans le sens conventionnel du courant, tandis que les anions négatifs se déplacent en sens contraire.

utilité du pont salin : assure la continuité électrique et assure l'électroneutralité des solutions.

variation de masse de l'électrode de plomb : augmentation de masse

Q=It= 0,015*2*3600 = 108 C soit n(e-) = 108/96500 = 1,12 10-3 mol d'électrons.

or Pb2+(aq) +2e-=Pb (s ) d'où n(Pb)= ½n(e-) =5,6 10-4 mol

masse de plomb correspondante (g) = n(Pb) M( Pb) = 5,6 10-4 *207,2 = 1,16 10-1 g ( 0,12 g)


valeur de la constante de temps : d'une part i=IP(1-exp(-t/t)) soit i/IP = 1-exp(-t/t)

d'autre part k = ln(1-i/IP) = ln(exp(-t/t)) = -t/t = -454 t d'où t = 1/454 = 2,20 10-3 s.

valeur de l'inductance de la bobine :t = L/(R+r) soit L= t (R+r) = 2,20 10-3 *18,6 = 4,1 10-2 H.

la constante de temps est homogène à un temps exprimé en seconde : t = L/(R+r)

½LI² a la dimension d'une énergie en J ; L a la dimension d'uné énergie divisée par une intensité au carré : J A-2.

(R+r) I² t a la dimension d'une énergie soit (R+r) a la dimension d'uné énergie divisée par une intensité au carré, divisée par un temps : J A-2 s-1.

donc L/(R+r) a la dimension d'un temps.

équation différentielle traduisant l'évolution temporelle du courant i(t) : ug = uL+uR ; E= ri+Ldi/dt+Ri

Ldi/dt + (R+r)i = E soit di/dt = E/L-(R+r)/L i = E/L-454 i= 36,59-454 i

compléter le tableau :

i(10-3) =i(5 10-4) + Di(tn) = i(5 10-4) + (di/dt)5 10-4Dt = 0,018+28,29*5 10-4 = 0,0321 A

(di/dt) 10-3=36,59-454 *0,0321=21,99.

i(1,5 10-3) =i(1 10-3) + Di(tn) = i(1 10-3) + (di/dt) 10-3Dt = 0,0321+21,99*5 10-4 = 0,0431 A

(di/dt) 1,5 10-3=36,59-454 *0,0431=17,02.

i(2 10-3) =i(1,5 10-3) + Di(tn) = i(1,5 10-3) + (di/dt) 1,5 10-3Dt = 0,0431+17,02*5 10-4 = 0,0516 A

(di/dt) 1,5 10-3=36,59-454 *0,0516=13,16.

t
i
di/dt
s
A
As-1
0
0
36,59
5,00 10-4
0,018
28,29
1,00 10-3
0,032
21,99
1,50 10-3
0,043
17,02
2,00 10-3
0,052
13,16
2,50 10-3
0,058
10,11
3,00 10-3
0,063
7,82

avec un pas plus petit on augmente la précision, mais on multiplie le nombre de calculs.


résistance équivalente et effet Joule ( 3pts)

Les quatre conducteurs ohmiques sont identiques R= 10 W; E= 6,0 V

  1. Calculer la résistance équivalente entre les points A et B du circuit.
  2. En déduire l'intensité du courant traversant le générateur.
  3. Calculer la puissance du transfert par effet joule pour l'ensemble des conducteurs ohmiques.
  4. Dans un catalogue de composants on a le choix entre les puissances minimales tolérées suivantes : 0,25 W, 1/3 W, 2/3 W et 1W. Laquelle choisir pour R ?
  5. Expliquer pourquoi le conducteur ohmique de résistance R trouvée précédemment ne peut être utilisé seul entre les bornes A et B du circuit.

corrigé
résistance équivalente entre les points A et B du circuit :

1 et 2 en série, équivalents à 2R ; de même pour 3 et 4, équivalents à 2R

puis 2 résistors de valeur 2R en dérivation : d'où la résistance équivalent à l'ensemble Réqui =2R*2R/(4R) = R.

intensité du courant traversant le générateur : I= E/Réqui = 6/10 = 0,60 A.

puissance du transfert par effet joule pour l'ensemble des conducteurs ohmiques : Réqui I²= 10*0,6² = 3,6 W

chaque résistor est traversé par une intensité de valeur 0,3 A : la puissance consommée par chaque résistor est RI² = 10*0,3² = 0,9 W d'où le choix 1W.

le conducteur ohmique de résistance R trouvée précédemment ne peut être utilisé seul entre les bornes A et B du circuit, car la puissance consommée par ce dernier est 3,6 W, bien supérieure à la puissance maximale tolérée 1W.


Utilisation d'un excès d'un réactif (4 pts)
  1. On se propose de préparer l'éthanoate de 3-méthylbutyle par estérification. Donner la formule semi-developpée et le nom dé l'acide, puis de l'alcool nécessaire à la réaction.
    - Ecrire l'équation de la réaction et donner ces caractéristiques.
  2. On réalise un mélange stoechiométrique contenant 0,2 mol de chaque réactif. Calculer le volume d'acide et d'alcool qu'il faut utiliser.
  3. La réaction étant limitée, on titre l'acide restant. Il faut verser un volume vB=33,5 mL de solution d'hydroxyde de sodiu, de concentration cB=2,0 mol/L pour atteindre l'équivalence.
    - Quelle quantité d'acide restait-il dans le milieu réactionnel ?
    - Calculer le rendement de cette transformation. ( nombre de mol d'ester formé / nombre de mol initial)
    - Quelle masse d'ester peut-on espérer obtenir par cette méthode ?
  4. On effectue une seconde préparation en partant d'un mélange initial formé de 0,2 mol d'alcool et de 1,0 mol d'acide.
    - Justifier qualitativement l'obtention d'un rendement supérieur au précédent.
    - A l'aide de la question 3, calculer la constante d'équilibre K associée à l'équation de la réaction.
    - Déterminer le rendement de cette seconde préparation.

réactif
masse molaire (g/mol)
masse volumique (g/mL)
acide
60
1,05
alcool
88
0,8
-


corrigé
acide éthanoïque CH3-COOH ; (CH3)2CH-CH2-CH2OH : 3-méthylbutan-1-ol

CH3-COOH + (CH3)2CH-CH2-CH2OH = CH3-COO-CH2-CH2-CH(CH3)2 + H2O

lente, athermique, limitée par l'hydrolyse de l'ester.

volume d'acide et d'alcool qu'il faut utiliser :

masse (g) = Qté de matière (mol) * masse molaire (g/mol) ; puis diviser la masse (g) par la masse volumique (g/mL)

acide : 0,2*60 / 1,05 = 11,4 mL ; alcool : 0,2*88/0,8 = 22 mL

quantité d'acide restant dans le milieu réactionnel : vBcB=0,035*2 = 0,070 mol

rendement de cette transformation : il s'est formé 0,2-0,07 = 0,13 mol d'ester

rendement 100*0,13/0,2 = 65%.

masse d'ester (g) = Qté de matière (mol) d'ester * masse molaire ester (g/mol) = 0,13*130 = 16,9 g.

obtention d'un rendement supérieur au précédent : en ajoutant l'acide en excès pour 0,2 mol d'alcool ( réactif limitant), on déplace l'équilibre vers la droite, consommation de l'acide, fabrication d'ester ( loi de Le Chatelier) . La quantité d'ester augmente alors que la quantité initial de réactif limitant ne change pas : donc le rendement augmente.

constante d'équilibre K associée à l'équation de la réaction : K=[ester]éq[eau]éq/([alcool]éq[acide]éq)

K= 0,13*0,13/(0,07*0,07) = 3,45.

rendement de cette seconde préparation : on note x l'avancement à l'équilibre.

K= X²/((1-X)(0,2-X))= 3,45

X² = 3,45(1-X(0,2-X) = 3,45X²-4,14 X+0,69

2,45X²-4,14 X+0,69= 0 la résolution donne X= 0,187 mol

rendement : 0,187*100/0,2 = 93,7 %.


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