Aurélie 11/05/07
 

concours Esiee th de l'énergie cinétique ; lois de Newton; travail d'une force; oscillateurs mécaniques 2007

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Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu. 

Une masse m, considérée ponctuelle, est lancée de A avec une vitesse initiale v0 i. Elle parcourt d'abord la portion horizontale AB=d puis s'engage sur un plan incliné d'un angle a par rapport à l'horizontale. En outre m subit dès le départ et sur tout son trajet, un force de frottement de type -F u où F est une constante et u un vecteur unitaire colinéaire au vecteur vitesse. On note g l'accélération de la pesanteur.

v0 = 4 m/s ; m = 100 g ; d= 7 m ; F=0,05 N; g = 10 m/s² ; sin a =0,1.

A- m arrive en B avec une vitesse de 3 m/s. Vrai.

Th. de l'énergie cinétique entre A et B .

m est soumise à son poids, à l'action du support et à la force de frottement : le poids et l'action du plan, perpendiculaires à la vitesse ne travaillent pas.

Travail résistant des frottements W = -F AB = -F d = -0,05*7 = -0,35 J.

DEc = ½mvB2 - ½mv02 = -0,35 ; vB2 = v02 - 2*0,35 / m ; vB2 =16-0,7/0,1 = 9 ; vB= 3 m/s.

B- m parcourt AB en 1,75 s. Faux.

Ecrire la seconde loi de Newton selon i : -F = m a ; a = -F/m = -0,05/0,1 = -0,5 m/s².

vitesse v(t) = at + v0 ; v(t) =-0,5 t + 4 ; tB =( 4-vB) / 0,5 ; tB = 2 s.

C- m atteint l'altitude maximale 8 s après son lancement. Faux.

Sur le plan incliné, m est soumise à son poids, à l'action du plan perpendiculaire au plan et au frottements.

Ecrire la seconde loi de Newton selon un axe parallèle au plan dirigé vers le haut du plan :

-mg sin a - F = ma ; a = -( g sin a + F/m) = -(10*0,1+0,05/0,1) ; a = - 1,5 m/s².

vitesse v(t) = at+vB ; v(t) = -1,5 t +3

A l'altitude maximum il y a arrêt ( vitesse nulle) d'où t arrêt = 2 s.

Durée totale du parcourt : 4 s.

D- m atteint l'altitude maximale de 30 cm. Vrai.

( origines : le passage en B) : distance parcourue sur le plan z(t) = ½at2 + vB t ;

z = 0,5(-1,5) 22+3*2 = 3 m.

altitude atteinte = distance parcourue * sin a = 3*0,1 = 0,3 m = 30 cm.

E- 4 s après son lancement, la vitesse de m est 2m/s. Faux.

La durée totale du parcours avant arrêt est de 4 s.

Un coureur parcourt une pisete circulaire ( ABCDA) Il part de A sans vitesse initiale et percourt le premier quart de la piste avec une vitesse dont la norme augmente proportionnellement au temps soit v = g1t. Il parcourt le reste avec un mouvement circulaire uniforme, c'est à dire à la vitesse atteinte en B. Le rayon du cercle est R= 300/p mètre et g1= 1/ 3 m /s².

A- Le coureur effectue le premier quart de tour en 30 s. Vrai.

v = g1t ; x= ½ g1t2 ; t = [2x/g1]½ avec x = ½pR = 150 m.

t = [300*3]½ = 30 s.

B- Sa vitesse en B vaut 10 m/s. Vrai.

vB= g1t = 30/3 = 10 s.

C- Le coureur effectue les trois derniers quarts de tour en 45 s. Vrai.

distance : 1,5 pR = 450 m ; vitesse : 10 m/s

durée du mouvement uniforme : 450 / 10 = 45 s.

D- La vitesse angulaire du coureur pendant les trois derniers quarts de tour est w= 6 rad/s. Faux.

w = v/R = 10 p/300 = p/30 rad/s.

E- L'accélération du coureur en D vaut p/3 m/s². Vrai.

L'accélération centripète vaut : v2/R = 100 *p/300 = p /3 m/s².

Un anneau de masse m glisse sans frottement sur un arc métallique ABC en forme de demi-cercle de rayon R= 10/p mètre. Outre le poids P et la réaction de l'arc sur l'anneau, deux forces F et F' d'intensité constantes de 100 N et 157 N respectivement agissent sur l'anneau.

F reste tangente au cercle et dans le sens opposé au mouvement. F' agit selon la direction horizontale et de la gauche vers la droite.

On note WXY(f) le travail d'une force f) sur le chemin menant de X à Y. On prend p = 3,14.

A- WAB(F) = -500 J. Vrai.

Puissance de F à la date t : P = F. v = -Fv ( vecteurs colinéaires de sens contraire)

travail élémentaire sur le parcours noté ds = v dt : dW= -F v dt = -F ds

Travail sur le parcours AB de longueur ½pR = 5 m : WAB(F) = -½pR F =-5*100 = -500 J.

B- WAB(F) = WBC(F). Vrai.

F et v vecteurs colinéaires de sens contraire ; F garde la même valeur ; le parcours a la même longueur.

C- WAB(F') = 500 J. Vrai.

Le travail d'une force constante ne dépend que des positions initiale et finale.( on choisit le parcours AO B avec O centre du cercle )

WAB(F') = WAO(F') + WOB(F') = AO * F' + 0 ( F' perpendiculaire à OB)

WAB(F') = R F' = 10/p*157 =1570/3,14 = 500 J.

D- WAB(F') = WBC(F'). Vrai.

WBC(F') = WBO(F') + WOC(F') = 0+OC * F'= R F'.

E- WAB(P) = WBC(P). Faux.

Le travail d'une force constante ne dépend que des positions initiale et finale.( on choisit les parcours AO B et BO C avec O centre du cercle )

Travail moteur du poids en descente de O vers B ; travail résistant du poids en montée de B vers O.

Une masse m est attachée à l'extrémité d'un ressort sans masse de constante de raideur k et de longueur à vide L0. L'autre extrémité est fixée en O à un support immobile. On néglige tout frottement. On note x=OM la position de m sur l'axe Ox orienté vers le bas. On note g l'accélération de la pesanteur supposée constante.

En O l'énergie potentielle de pesanteur est prise égale à 0.
A- La position d'équilibre de m correspond au minimum d'énergie potentielle élastique. Faux.

La position d'équilibre correspond à un minimum de l'énergie potentielle totale ( énergie potentielle élastique et énergie potentielle de pesanteur)

Energie potentielle de pesanteur : -mgx ( origine en O)

Energie potentielle élastique : : ½k(x-L0)2.

Energie potentielle totale : Ep= ½k(x-L0)2-mgx.

B- A la position d'équilibre de m, la somme des énergies potentielles est nulle. Faux.

La position d'équilibre correspond à un minimum de l'énergie potentielle totale.

dEp/dx= 0 donne k(xmini-L0)-mg soit xmini = mg/k + L0.

Ep mini = ½k(xmini-L0)2-mgxmini = (mg)2/ (2k) -(mg)2/ k -mgL0 =-(mg)2/ (2k) -mgL0 = -mg(mg/(2k)+L0).

C- La position d'équilibre de m correspond à xE= L0+mg/k. Vrai.

A la position d'équilibre le poids de m compense la tension du ressort.

mg = k(xE-L0) ; xE =mg/k + L0

La longueur du ressort est L= L0+mg/k.

On lache m de A, xA > xE, sans vitesse initiale, m oscille alors en restant sur l'axe Ox entre les positions A et B.

D- L'énergie cinétique de m est maximale lorsque l'énergie potentielle élastique est nulle. Faux.

L'énergie mécanique se conserve ; l'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de toutes les énergies potentielles.

L'énergie cinétique est maximale lorsque l'énergie potentielle totale est minimale, c'est à dire à la position d'équilibre.

Mais à la position d'équilibre l'énergie potentielle élastique vaut : ½k(xéq-L0)2.

½k(mg/k + L0-L0)2 = (mg)2/ (2k)

E- Quand la masse m passe à la position d'équilibre, la vitesse est maximale. Vrai.

A la position d'équilibre l'énergie potentielle totale étant minimale, l'énergie cinétique est maximale : en conséquence la vitesse est maximale.

Un pendule simple est constitué d'une masse m attachée à un fil inextensible, sans masse et de longueur L. Lâchée de A sans vitesse initiale, m oscille alors dans un plan vertical entre les positions extrèmes A et B quand on néglige tout frottement.

On se place dans le cas des petites oscillations. ( q reste faible et on confond sin q avec q en radian )
 A- La période du mouvement dépend de m. Faux.

T = 2p [L/g]½.

B- La période du mouvement est proportionnelle à L. Faux.

C- La vitesse maximale atteinte est indépendante de m. Vrai.

th de l'énergie cinétique entre A et M : DEc=½mv2 - 0

La tension du fil perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas.

travail du poids ( de A vers M) ; origine des altitudes : la position d'équilibre)

W = mgL(cosq- cos qA).

½mv2 = mgL(cosq- cos qA) ; v2 =2gL(cosq- cos qA)

D- La tension du fil est de norme constante au cours du mouvement. Faux.

E- La fréquence du mouvement est indépendante de m.Vrai.

La fréquence est l'inverse de la période ; la période est indépendante de m.
 

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