radioactivité, concours paramédicaux : du bismuth au plomb En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.

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Le bismuth Bi (A=210 Z=83) est radioactif Béta - : il se transforme en polonium Po lui-même radioactif Alpha. Le polonium se désintègre à son tour en produisant un nucléide stable, le plomb. Ecrire les deux équations de désintégration du bismuth en plomb. 21083Bi ---> 21084Po + 0-1e 21084Po ---> 20682Pb +42He   Soient N1(t), N2(t) et N3(t) les nombres respectifs de noyaux de bismuth, de polonium et de plomb. Etablir l'équation différentielle vérifiée par N2(t). Pendant la durée très courte notée dt, dN1 = -l1N1 dt noyaux de bismuth disparaissent par désintégration de type ß- et il apparaît +l1N1 dt noyaux de polonium. Pendant la même durée dt, -l2N2 dt noyaux de polonium disparaissent par désintégration de type alpha. Par suite dN2= l1N1 dt -l2N2 dt dN2/dt + l2N2 =l1N1. Or dN1 = -l1N1 dt donne par intégration : N1 = N0 exp(-l1t) avec N0 nombre de noyaux initiaux de bismuth. D'où : dN2/dt + l2N2 =l1N0 exp(-l1t) (1) Solution générale de dN2/dt + l2N2 =0. N2= A exp(-l2t) avec A une constante. Solution particulière de (1) : N2part = B exp (-l1t) avec B une constante. dN2part /dt = -Bl1exp (-l1t) puis repport dans (1) -Bl1exp (-l1t) +l2B exp (-l1t) =l1N0 exp(-l1t) B( l2-l1) =l1N0 ; B = l1N0/( l2-l1) Solution générale de (1) : N2= A exp(-l2t) + l1N0/( l2-l1)exp (-l1t) A t = 0, N2(0) = 0 = A +l1N0/( l2-l1) soit A = - l1N0/( l2-l1) N2= l1N0/( l2-l1) [ exp (-l1t) - exp(-l2t)]. En déduire que N2(t) passe par un maximum et calculer la valeur de t correspondante. Données : le bismuth a une période de 5 jours et le polonium une période de 138,3 jours. dN2/dt = l1N0/( l2-l1) [-l1exp (-l1t) + l2exp (-l2t) ] La dérivée s'annule pour : l1exp (-l1t) = l2exp (-l2t) ; l1 / l2 =exp (-l2t) / exp (-l1t) = exp[(l1 -l2 )t] (l1 -l2 )t = ln (l1 / l2) ; t = ln (l1 / l2) / (l1 -l2 ). On note t½ Bi la demi vie du bismuth : t½ Bi l1 = ln 2 ; l1 = ln 2 / t½ Bi = 0,1386 jour-1. On note t½ Po la demi vie dupolonium : t½ Po l2 = ln 2 ; l2 = ln 2 / t½ Po = 5,01 10-3 jour-1. (l1 / l2) = t½ Po / t½ Bi = 138,3/5 =27,66 ; (l1 -l2 ) =0,1336 jour-1. t = ln 27,66 / 0,1336 = 24,85 jours ~ 25 jours.   Donner l'allure des courbes N1(t) et N2(t) pour t < 35 jours.

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